Результаты реализации проекта за 2024 год

1. В рамках первой задачи второго года реализации проекта, связанной с дальнейшим анализом возможного применения нейронных сетей в области оценивания опционов, были получены следующие результаты: — исследованы вопросы повышения интерпретируемости искусственных нейросетей на примере стандартных задач вычислительной финансовой математики; — применены импульсные нейронные сети для моделирования значений факторов Винера-Хопфа для комбинирования с численным методом Винера-Хопфа при вычислении цен опционов, функции выплат которых зависят от экстремума процесса Леви; — предложена идея новой модели импульсных нейросетей, обучение которой связано с вычислением вероятности пересечения барьера процессом Леви; -оформлены в виде публикаций результаты первого года исследования по быстрым вычислениям интегральных операторов типа свертки в задачах оценивания опционов в моделях Леви и по применению искусственных нейронных сетей второго поколения для факторизации Винера-Хопфа.

1.1. В рамках исследования повышения интерпретируемости искусственных нейросетей нами предложено два подхода, проиллюстрированных на примере стандартных задач вычислительной финансовой математики. В стандартной постановке нейронная сеть получает информацию о текущей цене акции, цене исполнения опциона, безрисковой процентной ставке, волатильности акции и сроке действия опциона. Исследователь методом проб и ошибок подбирает количество скрытых слоев, число нейронов на них и функции активации. В результате обучения на аналитических формулах или реальных данных получается плохо интерпретируемая модель, применение которой на других данных слабо обосновано. В нашем первом подходе мы учитываем вероятностную природу выбранных нами функций активации и выстраиваем архитектуру нейросети так, чтобы построенная модель была легко интерпретируемой и соответствовала особенностям функции цены опциона как линейной комбинации двух функций распределения. Мы обосновываем, что нейросеть прямого распространения с одним скрытым слоем и положительными весами — это естественный аппроксиматор для общих функций распределения непрерывных случайных величин. С помощью такого рода интерпретации, мы строим такую архитектуру нейронной сети, которая в результате обучения приводит к нейросетевому аналогу классической формулы Блэка-Шоулза. Второй подход, показанный на примере решения уравнения Блэка-Шоулза с помощью нейросетей, также применим для более широкого класса моделей. В случае общих моделей Леви мы будем иметь обобщенное уравнения Блэка-Шоулза (обратное уравнение Колмогорова). Математическое обоснование аппроксимационных свойств нейросетей позволяет искать решение в специальном виде, который удобен для подсчета функции потерь и градиента в явном виде. Для оптимизации параметров нейросети применяется специальная функция потерь, которая минимизирует невязку и отклонение от начальных условий. Результаты данного исследования представлялись на Девятой международной конференции по стохастическим методам (г. Геленджик, пос. Дивноморское, Россия, 2–8 июня 2024 г.), Международной научной конференции “Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — 2024” (г. Ростов-на-Дону, Россия, 25–30 августа 2024 г.), международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, Россия, 2-4 декабря 2024г.) и будут опубликованы в журнале Информационные процессы(RSCI) и в журнале Journal of Communications Technology and Electronics (Scopus, Q3).

1.2. В рамках исследования возможностей построения гибридных методах вычисления цен барьерных опционов с помощью нейросетей нами были применены импульсные нейронные сети для моделирования значений факторов Винера-Хопфа. Нами предложена импульсная нейронная сеть с моделью «интегрировать-и-сработать» с утечками для факторизации тригонометрического полинома в комплексной форме, коэффициенты которого представляют собой распределение вероятностей. Искомые многочлены-факторы имеют аналогичную вероятностную интерпретацию, при этом у первого фактора первая половина коэффициентов равна нулю, а у второго – вторая половина. Вероятностная интерпретация задачи позволяет обойтись без кодирования и декодирования входных и выходных данных в спайки и обратно. Обучение сети проводится для одного набора коэффициентов полинома с целью минимизировать ошибку приближения этого полинома произведением факторов, коэффициенты которых предсказываются сетью, для чего программно реализована собственная функция потерь. В отличие от традиционного подхода к подбору параметров модели на обучающей выборке, в данной работе предлагается минимизировать ошибку приближения конкретной характеристической функции процесса Леви произведением многочленов-факторов. При этом модель не использует фактические значения коэффициентов факторов при обучении, а только значения многочленов, вычисленные с помощью быстрого преобразования Фурье. В рамках вычислительных экспериментов представлен пример факторизации полинома 255-й степени, связанного с гауссовым процессом Леви, с помощью спайковой нейросети. Программная реализация предлагаемого в статье подхода к решению задачи факторизации написана на языке программирования Python с использованием фреймворка машинного обучения pyTorch и библиотеки snnTorch импульсных нейронных сетей. В нашей задаче большое значение имеет скорость обучения нейросети, поскольку задача факторизации новой характеристической функции решается всякий раз заново в процессе обучения. Преимуществом использования импульсной нейронной сети перед традиционными сетями является высокий потенциал оптимизации скорости обучения на нейроморфных чипах – новом этапе развития современной электроники. Результаты данного исследования представлялись на Международной научной конференции “Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — 2024” (г. Ростов-на-Дону, Россия, 25–30 августа 2024 г.) и будут опубликованы в журнале «Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии» (RSCI).

1.3. Проанализировав математические особенности импульсных нейросетей, можно отметить, что по способу хранения информации спайковые нейросети превосходят искусственные нейросети, но уступают в вопросах обучения из-за разрывности функции активации. В модели «интегрировать-и-сработать» с утечками импульсы от пресинаптических нейронов обычно моделируются с помощью процесса Пуассона. Суммарное воздействие нескольких пресинаптических нейронов можно интерпретировать как составной процесс Пуассона. Тогда процесс обучения можно рассматривать как подбор амплитуды скачков (соответствующих весам пресинаптических нейронов) при решении задачи оценки вероятности пересечения процессом мембранного потенциала нейрона порогового потенциала. Эту задачу можно свести к задаче вычисления вероятности пересечения барьера процессом Леви, хорошо известную в вычислительной финансовой математике. К сожалению, в классической модели такой барьер оказывается зависимым от времени. Это существенно усложняет задачу, хотя и позволяет использовать стандартный инструментарий минимизации ошибки без использования суррогатных градиентов. Для решения этой проблемы мы предлагаем новую перспективную модель для импульсных нейронных сетей, которая будет более привлекательна с вычислительной точки зрения для стандартного подхода к обучению на основе градиента. Мы модифицируем модель «интегрировать и сработать» с утечкой, рассматривая мембранный потенциал как экспоненциальный процесс составной процесс Пуассона. Данная модель представляется нам перспективной для дальнейших исследований с учетом имеющегося инструментария вычислительной финансовой математики.

1.4. Возможности применения искусственных нейронных сетей второго поколения для факторизации Винера-Хопфа были продемонстрированы на примере гибридного метода по вычислению цен вечных барьерных опционов и барьерных опционов с конечным временным горизонтом. Подход к моделированию значений факторов Винера-Хопфа с использованием нейронных сетей прямого распространения с одним скрытым слоем был опубликован журнале IAENG International Journal of Computer Science (Scopus, Q3). Разработанный в первый год реализации проекта метод расчета интегральных операторов свертки с ядром типа плотности вероятности случайных величин, принимающих только положительные или только отрицательные значения, был оформлен в виде публикации и в ходе вычислительных экспериментов было показано, что он может успешно конкурировать с традиционным методом вычисления сверток — быстрым преобразование Фурье. Более того наш подход предусматривает возможность встраивания нейросетей для аппроксимации интегралов, входящих в приближенную формулу. Десятки лет назад для вычисления специальных функций использовались заранее заготовленные таблицы. В наше время для вычисления типовых интегралов можно использовать мощный аппарат искусственных нейросетей, что позволит создавать более эффективные гибридные численные методы, комбинирующие традиционные методы вычислительной математики (в идейной части алгоритма) и методы машинного обучения (в части выполнения повторяющихся рутинных элементов алгоритма). С точки зрения практического применения, предлагаемый в работе подход естественным образом распараллеливается на базе nVidia CUDA API для ускоренного обучения нейросетей и подсчета приближенных значений интегралов на основе обученных нейросетей. Результаты данного исследования будут опубликованы в 12 номере 2024 года «Журнала вычислительной математики и математической физики»(RSCI, первое место в рейтинге SCIENCE INDEX по математике, десятое место в общем рейтинге SCIENCE INDEX) и в переводной версии журнала «Computational Mathematics and Mathematical Physics» (WoS; Scopus, Q2 в 2022 и Q3 в 2023).

2. В рамках второй задачи второго года реализации проекта, связанной с разработкой численного метода оценивания барьерных опционов в моделях со стохастической волатильностью, был предложен гибридный подход, использующий методы уменьшения размерности а также сочетающий нейронные сети и приближенный метод факторизации Винера-Хопфа, для решения возникающих задач более низких размерностей. Для того, чтобы учесть эффект корреляции случайных процессов цены и вариации, мы используем замену процессов специального вида. Затем строится марковская цепь для аппроксимации процесса вариации на небольших интервалах времени и используем рандомизацию времени. В результате мы получаем систему задач с граничными условиями для одномерных (интегро)дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Аппроксимация факторов Винера-Хопфа может осуществляться с помощью нейросетей методами, разработанными в в рамках проекта (см. п.1.2 и 1.4). В качестве альтернативы, мы также рассматриваем возможность решение рассматриваемых задач напрямую с помощью нейросетей. В частности, мы рассматриваем численные методы вычисления цен опционов в модели Хестона. Основное внимание уделено решению задачи Коши для уравнения с частными производными для цены опциона с помощью искусственных нейросетей. Обоснована возможность аппроксимации решения с помощью нейросетей прямого распространения с одним скрытым слоем и сигмоидной функцией активации. Преимуществом предложенного метода является возможность явного вычисления функции потерь при выборе логистической регрессии в качестве функции активации. Функция потерь нейросети учитывает ошибки выполнения уравнения для цены опциона и аппроксимации начального условия и краевых условий. Для обеспечения непрерывности функции выплат вблизи барьера применяется корректирующая функция, которая удовлетворяет обратному уравнению Колмогорова для цены барьерного опциона. Для сравнения используется метод решения краевой задачи, метод Монте-Карло и метод, основанный на рекуррентных формулах на бинарном дереве. Вычислительные эксперименты показывают, что даже при умеренном количестве нейронов на скрытом слое нейросеть достаточно хорошо аппроксимирует цены европейского опциона «в деньгах». Результаты данного исследования представлялись на Международной научной конфе-ренции “Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического ана-лиза и их приложения — 2024” (г. Ростов-на-Дону, Россия, 25–30 августа 2024 г.), меж-дународной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, Россия, 2-4 декабря 2024г.) и опубликованы в журнале «Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки» (RSCI).

3. В рамках третей задачи второго года реализации проекта был разработан универсальный метод Монте-Карло для вычисления цен экзотических опционов, функция выплат которых зависит от конечного положения экстремума процесса Леви или совместного распределения конечного положения процесса Леви и его инфимума (или супремума). В первом случае предлагаемый метод позволяет вычислять цены опционов lookback с плавающей и фиксированной ценой исполнения не только в начальный момент времени, но и в течение всего срока, когда текущее положение процесса Леви может не совпадать со своим экстремумом. Предлагаемый алгоритм включает три этапа: аппроксимацию функции распределения процесса экстремума, ее обращение и симуляцию конечного положения экстремума процесса Леви. В работе выведены новые приближенные формулы для вычисления функций распределения процессов супремума и инфимума для моделей Леви, использующие факторизацию Винера–Хопфа. Описаны принципы построения гибридного метода Монте-Карло, комбинирующего классические численные методы построения функции распределения конечногоположения процесса экстремума и методы машинного обучения для обращения функции распределения с помощью тензорных нейронных сетей. Проведенные вычислительные эксперименты подтверждают эффективность универсального метода Монте-Карло при вычислении цен опционов lookback. Для второго случая мы выводим приближенные формулы для условных функций распределения процесса Леви, когда известно положения процесса инфимума (или супремума), которые выражаются через частную производную по функции их совместного распределения и плотности инфимума (или супремума) в конечный момент времени. Применив преобразование Лапласа к функции совместного распределения процесса Леви и его экстремума, мы используем приближенную факторизацию Винера-Хопфа для представления образа ее частной производной. Обращая преобразование Лапласа с помощью алгоритма Гавера-Стехфеста, мы находим искомую условную функцию распределения. Разработанный алгоритм симуляции совместного положение процесса Леви и его экстремума в заданный момент времени состоит из двух ключевых этапов. На первом этапе мы симулируем значение экстремума процесса Леви на основе аппроксимации его функции распределения инфимума (или супремума). На втором этапе мы симулируем конечное значение процесса Леви на основе аппроксимации условной функции распределения конечного положения процесса Леви относительно его экстремума. Универсальность разработанного нами метода Монте-Карло заключается в реализации единообразного подхода для широкого класса процессов Леви, в отличие от классических подходов, когда симуляции существенным образом опираются на особенности вероятностного распределения, связанного с моделируемым случайным процессом или его экстремумами. В нашем подходе достаточно знать характеристическую экспоненту процесса Леви. Наиболее затратный по времени вычислительный блок по симуляции случайной величины на основе известной функции распределения может быть эффективно реализован с помощью нейросетей и ускорен за счет параллельных вычислений. Таким образом, с одной стороны, предлагаемый нами подход подходит для широкого класса моделей Леви, с другой — допускает комбинирование с методами машинного обучения. Результаты данного исследования представлялись на Восьмой и Девятой международной конференции по стохастическим методам (в 2023г и 2024 г.), Международной научной конференции “Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения — 2023” (г. Ростов-на-Дону, Россия, 20–25 августа 2023 г.) и опубликованы в журнале «Вестник российских университетов. Математика»(RSCI, Scopus, Q2) и журнале «Теория вероятностей и ее применения» (RSCI), а также в переводной версии журнала «Theory of Probability and Its Applications» (WoS; Scopus, Q3 в 2023)

4. Четвертая дополнительная задача второго года реализации проекта по разработке прикладного метода вычисления мер риска : Value-at-Risk (Стоимость под риском), Conditional Tail Expectation (определяет ожидаемую величину потерь, при условии, что произошло событие, выходящее за рамки заданного уровня надежности) для переменных аннуитетов (ПА) в моделях Леви возникла как дополнительная задача проекта в рамках коллаборации с Вей Сяо (Wei Xiao), профессором Центрального финансово-экономического университета (Пекин, лучший университет в области финансов, экономики, бизнеса и управления в Китае) по предложению профессора Вей Сяо, которая разработала модель и внесла вклад в интерпретацию результатов. Руководитель проекта разработал численный метод и программный код. Вей Сяо и руководитель проекта участвовали в написании статьи и проведении вычислительных экспериментов. Мотивированные эффективностью метода фреймовых проекций PROJ, разработанного для вычисления цен опционов в работах Kirkby, J. L., мы решили распространить этот подход и на задачу вычисления мер риска переменных аннуитетов в экспоненциальных моделях Леви. В дополнение к адаптации метода PROJ к задачам оценки VaR и CTE, наша модификация имеет несколько новых ингредиентов, которые позволяют улучшить численную производительность вычислений. Во-первых, используя свойства масштабирующих функций B-сплайнов в качестве генераторов базиса Рисса, мы обосновываем выбор базиса B-сплайнов 3-го порядка в нашем численном методе. Вместо фреймов, используемых в оригинальном методе PROJ, в нашем подходе мы используем базис Рисса, который образует разбиение единицы. Это позволяет нам предоставить явную форму L2-ошибки конечномерной аппроксимации фреймовой проекции искомых плотностей вероятности. Во-вторых, мы предлагаем использовать метод моментов для поиска оптимальных квадратурных точек для аппроксимации интеграла от экспоненциального процесса Леви с помощью метода прямоугольников. В отличие от ценообразования азиатских опционов, мы оцениваем наши меры риска не по эквивалентной мартингальной мере, а по исторической. В связи с этим правильный выбор квадратурных точек важен в нашем случае. Мы показываем, что метод средних прямоугольников средней является (почти) оптимальным выбором и превосходит метод левых прямоугольников. В-третьих, для вычисления характеристической функции суммы значений экспоненциального процесса Леви в дискретные моменты времени после приближения интеграла мы используем альтернативу факторизации Carverhill-Clewlow. Такое представление суммы позволяет нам эффективно использовать алгоритм быстрого преобразования Фурье для каждого фактора на сетке с разумным размером шага и избегать сдвига Benhamou сетки на каждом шаге вычислений. Кроме того, в основной части нашего численного алгоритма, чтобы найти VaR как квантиль распределения потерь, мы решаем уравнение для соответствующей кумулятивной функции распределения, используя метод Ньютона, соединенный с явными формулами для прогнозируемой плотности вероятности. После нахождения VaR вычисляем CTE с помощью интегрирования по частям, мы снова прибегаем к свойствам базиса кубического B-сплайна. Численные эксперименты демонстрируют эффективность нашей модификации метода PROJ для вычисления мер риска ПА с GMMB в моделях, управляемых процессами Леви, где существующие методы расчета мер риска ПА не могут быть применены. Кроме того, результаты экспериментов показывает, что модель GBM значительно недооценивает VaR и CTE для переменных аннуитетов с GMMB, если базовые активы демонстрируют динамику негауссовых процессов Леви. Результаты проведенного исследования представлялись на международном научном онлайн-семинаре «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» в Центральном экономико-математическом институте РАН (г. Москва, 16 апреля 2024), Девятой международной конференции по стохастическим методам, (г. Геленджик, пос. Дивноморское, Россия, 2–8 июня 2024 г.) и международной конференции 2024 года по актуарной науке, количественным финансам и управлению рисками (2023 International Conference on Actuarial Science, Quantitative Finance, and Risk Management) на базе Центрального финансово-экономического университета (Пекин, Китай, 9–11 июля 2023 г.). Статья по результатам исследования «Numerical methods for computing risk measures of variable annuities under exponential Levy models» была направлена в журнал «Insurance: Mathematics and Economics» (WoS; Scopus -Q1), где проходит в настоящее время второй этап рецензирования.

5. Опубликованы 7 статей в журналах, индексируемых в RSCI, Scopus или Web of Science, включая статьи по неопубликованным результатам первого этапа проекта. Еще две статьи проекта по разработке прикладного метода вычисления мер риска для переменных в моделях Леви и методологии реальных опционов для многоступенчатых НИОКР получили положительные рецензии и проходят второй этап рецензирования в топовых журналах, соответственно, “Insurance: Mathematics and Economics” (Scopus — Q1) и “European Journal of Operational Research” (Web of Science, Scopus — Q1).

6. Результаты проекта представлены коллективом на международной конференции по стохастическим методам (Дивноморск), научном онлайн-семинаре «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании», (ЦЭМИ РАН, г. Москва), международной научной конференции“Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения ”(Ростов-на-Дону), международной конференции 2024 года по актуарной науке, количественным финансам и управлению рисками (Пекин, Китай), международной научной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж).

7. Все разработанные методы программно реализованы и подготовлены в виде комплекса программ для ЭВМ для регистрации в Роспатенте.

Поделиться этой страницей