Проект относится к вычислительной финансовой математике и направлен на решение фундаментальной задачи – разработки универсальных и эффективных численных методов вычисления широкого класса функционалов от марковских процессов со скачками.
За отчетный период реализация целей и задачей проекта развивалась в следующих направлениях.
2020 год
В рамках первой цели проекта, связанной с разработкой новых численных методов оценивания опционов в реалистичных моделях финансовых рынков, были разработаны методы вычисления опционов с барьерами в моделях Леви со стохастической волатильностью, оптимизированный метод Монте-Карло для вычисления экзотических опционов в моделях Леви, новый метод вычисления цен опционов lookback американского стиля в модели Блэка-Шоулса, новый эффективный метод упрощенной факторизации Винера-Хопфа, применимый к вычислению цен барьерных, двухбарьерных опционов в моделях Леви с переключением/без переключения режимов по параметрам процесса.
Все разработанные методы используют различные модификации приближенной факторизации Винера-Хопфа.
В направлении разработки численных методов вычисления цен опционов с барьерами в моделях Леви со стохастической волатильностью построен новый численный метод, комбинирующий аппроксимацию процесса вариации с помощью марковской цепи, метод Винера-Хопфа и эффективную реализацию операторов Винера-Хопфа в виде свертки с экспоненциальными ядрами в случае моделей Хестона и Бейтса.
В рамках проекта предложены два обобщенных подхода к построению метода Монте-Карло на случай моделей Леви, не допускающих явную факторизацию Винера-Хопфа. В рамках первого подхода симуляция процессов супремума и инфимума в экспоненциально распределенные моменты времени осуществляется на основе обращения их приближенных функций распределения. Второй подход не требует разбиения траектории на части, а предполагает непосредственную симуляцию конечных значений процесса инфимума (супремума) и может быть использован для симуляции совместного распределения положения процесса Леви и соответствующего процесса экстремума, что дает существенный выигрыш в скорости.
В части задачи вычисления цен опционов lookback американского стиля был разработан метод конечных разностей, позволяющий снизить размерность задачи с трехмерной до двухмерной и оценивать американские опционы lookback в рамках модели Блэка-Шоулза за миллисекунды. Снижение размерности задачи обосновывается с помощью метода Винера-Хопфа.
Наиболее важным результатом проекта является новый подход «Упрощенной факторизации Винера-Хопфа» для вычисления математических ожиданий функций, зависящих от конечного положения процесса Леви и его инфимума и/или супремума. Основная идея заключается в расщеплении процесса Леви на скачки вверх и вниз в экспоненциально распределенные рандомизированные моменты, этот трюк делает возможным легко применять такой сложный инструмент как метод Винера-Хопфа для решения широкого спектра задач финансовой математики, включающего в себя однобарьерные и двухбарьерные опционы в общих чисто негауссовских моделях Леви с конечной вариацией скачков, в том числе с переключением режимов. С небольшой модификацией метод может быть применен к общим моделям Леви бесконечной вариации.
В рамках второй цели проекта, по разработке численных методов для анализа финансовых рынков, с применением методов машинного обучения, были разработаны методы быстрой калибровки моделей Леви по данным рынка криптовалют, методики для вычисления цены опциона одного касания в моделях Леви на основе глубоких нейронных сетей и сетей с памятью, подходы к классификации состояний рынка и прогнозированию переходов между состояниями.
Быстрая калибровка моделей Леви по данным рынка криптовалют включает в себя методику предварительной обработки исторических данных о ходе торгов, позволяющую получать синтетические цены опционов одного касания, интерпретируемые как исторические вероятности пересечения набора курсовых барьеров активом; алгоритм оценки обобщенного индекса Блюменталя-Гетура, характеризующего активность скачков модели Леви, на основе степенной вариацию временных рядов лог-доходностей исторических цен криптовалют. К размеченным таким образом данным были применены механизмы быстрой калибровки моделей Леви при помощи глубоких нейронных сетей и гауссовской регрессии процесса.
В части вычисления цен опционов в моделях Леви с помощью методов машинного обучения разработаны методики для вычисления цен опциона одного касания в модели GCMY. Первая методика обучает рекуррентную искусственную нейронную сеть по синтетическим ценам опционов одного касания, во второй методике нейронная сеть обучается на ценах, рассчитанных методом приближенной факторизации Винера-Хопфа.
В рамках разработки подходов к классификации состояний рынка реализована нейронная сеть, предсказывающая значение коэффициента линейной регрессии показателей логарифмической доходности валютной пары BTC/USD, на основе которого обосновывается выбор одной из трех стратегий при ведении торгов на криптовалютной бирже: сигнал к покупке, сигнал к продаже и ожидание. Другой разработанный алгоритм для классификации состояний рынка и прогнозирования переходов между ними основан на модели с переключением режимов и использует набор моделей Леви, которые анализируются на предмет адекватности отражения особенностей распределения вероятностей логарифма приращения цены базового актива.
По основным результатам проекта подготовлены две главы для книги Applications of Levy Processes», готовящейся к публикации в международном издательстве Nova Science Publishers, издания которого индексируются в Scopus, главным редактором является руководитель проекта.
Авторским коллективом подготовлены зарегистрированные в Роспатенте программы для ЭВМ: «Lookback Option Pricer», программная реализация оптимизированного метода Монте-Карло для опционов lookback, и «Программа для управления рисками инвестиционного портфеля – Пиргос 2.0 (Диурн)», которая является интерфейсом для работы с численными методами, разработанными в рамках проекта.
Все разработанные численные методы программно реализованы. На сайте https://inwise-systems.com организации ООО НПФ «ИнВайз Системс», на базе которой реализуется проект, создан ресурс в разделе научная деятельность, где размещаются результаты проекта, включая презентации к докладам на конференциях. Результаты проекта представлены в более 50 публикациях, включая публикации в журналах из перечня ВАК и зарубежных изданиях, входящих в базы Web of Science/Scopus, на 17 международных научных конференциях и семинарах и на двух выставках, где получили награды, включая золотую медаль XXII Московского международного Салона изобретений и инновационных технологий «Архимед — 2019».
2019 год
В рамках первой цели проекта, связанной с разработкой новых численных методов оценивания опционов в реалистичных моделях финансовых рынков, допускающих скачки, решены задачи по вычислению цен цифровых опционов первого касания в моделях со стохастической волатильностью, опционов lookback американского стиля, двухбарьерных опционов в моделях Леви.
В рамках задачи вычисления цен цифровых опционов первого касания в моделях со стохастической волатильностью был предложен новый численный метод для решения определённого типа задач с граничными условиями для трёхмерных дифференциальных уравнений, связанных с распределениями первого пересечения барьера диффузиями Ито.
В части задачи вычисления цен опционов lookback американского стиля был разработан метод конечных разностей, позволяющий за миллисекунды оценивать американские опционы lookback с плавающей ценой исполнения в рамках модели Блэка-Шоулза.
В части задачи вычисления цен двухбарьерных опционов в общих моделях Леви предложен новый эффективный подход для чисто негауссовских процессов Леви со скачками конечной вариации.
Основной оригинальной идеей нашего подхода является представление рассматриваемого процесса Леви на коротких промежутках времени в виде разности двух субординаторов, что позволяет применять метод факторизации Винера-Хопфа в явном виде.
Проведенный анализ эффективности разработанного на первом этапе оптимизированного метода Монте-Карло на примере опционов lookback европейского стиля, показал, что метод быстро сходится и не уступает детеминированным методам.
В рамках второй цели проекта по разработке численных методов для анализа рынков, предложены решения задачи моделирования криптовалют с помощью умеренно устойчивых процессов Леви с помощью с применением нейронных сетей, уточнены подходы к оценки индекса активности скачков, разработан механизм непараметрической оценки стоимости опционов первого касания на криптовалюты с применением методов машинного обучения и построена его программная реализация для модели CGMY.
В части решения задачи по разработке и исследованию торговых стратегий, подготовлена программная реализация платформы для анализа эффективности торговых стратегий, основанных на применении методов машинного обучения на примере криптовалют.
Авторским коллективом подготовлена программа для ЭВМ: «Программа для управления рисками инвестиционного портфеля – Пиргос 2.0 (Диурн)», которая внесена в Реестр программ для ЭВМ, регистрационный № 2019666725 от 13.12.2019. Программный продукт является интерфейсом для работы с численными методами, разработанными в рамках текущего проекта.
Все разработанные численные методы программно реализованы. На сайте https://inwise-systems.com организации ООО НПФ «ИнВайз Системс», на базе которой реализуется проект, создан ресурс в разделе научная деятельность, где размещаются результаты проекта, включая презентации к докладам на конференциях.
Результаты проекта представлены в 15 публикациях, включая 9 публикаций в журналах из перечня ВАК и зарубежных изданиях, входящих в базы Web of Science/Scopus, на 7 международных научных конференциях и семинарах и на двух выставках, где получили награды, включая золотую медаль XXII Московского международного Салона изобретений и инновационных технологий «Архимед — 2019».
2018 год
В рамках проекта построен новый общий численный метод решения специального вида интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с переменными коэффициентами, которые возникают в финансовой математике при вычислении цен барьерных опционов в моделях со стохастической волатильностью, которые дополнительно могут допускать скачки.
Используемый подход предполагает вероятностную интерпретацию задачи, позволяющую применить рандомизацию времени, построить аппроксимацию одного из процессов марковской цепью для снижения размерности и задействовать аппарат факторизации Винера-Хопфа для последовательного решения возникающих одномерных задач. Действие операторов Винера-Хопфа численно реализовано двумя способами: с помощью быстрого преобразования Фурье и новым итеративным методом вычисления свертки с плотностями показательных распределений.
В проекте разработаны два обобщенных подхода к построению метода Монте-Карло на случай моделей Леви, не допускающих явную факторизацию Винера-Хопфа. Оба метода используют приближенные формулы для факторов Винера-Хопфа. В рамках первого подхода симуляция процессов супремума и инфимума в экспоненциально распределенные моменты времени осуществляется на основе обращения их приближенных функций распределения.
Второй подход является оптимизированной версией первого, поскольку не требует разбиения траектории на части, предполагает непосредственную симуляцию конечных значений процесса инфимума (супремума) и может быть использован для симуляции совместного распределения положения процесса Леви и соответствующего процесса экстремума, что дает существенный выигрыш в скорости.
Программная реализация оптимизированного метода Монте-Карло для опционов lookback с фиксированной ценой исполнения для модели Tempered Stable Levy оформлена в виде программы «Lookback Option Pricer» и зарегистрирована в Роспатенте.
В ходе первого года реализации проекта разработана методика выбора наиболее адекватных стохастических моделей динамических рядов курсов криптовалют, включающая в себя два этапа. Первый этап — оценка индекса активности скачков и наличия диффузионной компоненты на основе анализа реализованной степенной вариации ряда логарифмических доходностей. Второй этап — калибровка параметров модели по искусственным ценам опционов первого касания. Разработанная методика была апробирована на исторических данных ключевых криптовалют.
Все разработанные численные методы программно реализованы. На платформе github.com создан профиль «Project-18-01-00910», где размещаются программные коды и данные. Результаты проекта представлены в 12 публикациях, включая 4 статьи в журналах из перечня ВАК и зарубежных журналах, входящих в базы Web of Science/Scopus, на 7 международных научных конференциях и семинарах.