Проект относится к вычислительной финансовой математике и направлен на решение научной проблемы – разработке универсальных и эффективных численных методов вычисления функционалов от марковских процессов, допускающих скачки, с приложениями в финансах. За отчетный период реализация задачей проекта развивалась в следующих направлениях.
В рамках первой задачи проекта, связанной с исследованием возможностей комбинирования традиционных численных методов и методов машинного обучения, разработан подход к моделированию значений факторов Винера-Хопфа с помощью нейронных сетей прямого распространения с одним скрытым слоем. Построена нейронная сеть, которая аппроксимирует функцию вычисления коэффициентов полиномов-сомножителей по заданному вектору коэффициентов факторизуемого полинома. Программно реализованы генератор обучающих данных и обобщенная функция потерь, подходящие для обучения нейросети факторизации полинома произвольной степени. В ходе обучения нейросети достигнута практически значимая точность разложения полиномов 2-й, 6-й и 254-й степени. Время вычисления факторов нейронной сетью после обучения составляет доли секунды. Исследован вопрос возможностей применения нейросетей к вычислению сверток с факторами Винера-Хопфа, которые обычно вычисляются с помощью быстрого преобразования Фурье. Разработанный руководителем проекта метод упрощенной факторизации Винера-Хопфа позволяет сводить вычисление свертки с факторами Винера-Хопфа к вычислению типовых интегралов, которые можно успешно аппроксимировать с помощью нейросетей. Исследованы особенности применения гибридных методов Монте-Карло и машинного обучения (нейросетей) для вычисления цен опционов, зависящих от траектории цены базового актива. Разработанные подходы к построению гибридных методов Монте-Карло могут быть обобщены на случай опционов с барьерами (one-touch options, которые можно интерпретировать, как функцию распределения экстремума моделирующего процесса) и опционов типа lookback в моделях Леви. Проведены вычислительные эксперименты, показывающие особенности стандартной аппроксимации функции распределения конечного положения экстремума процесса и соответствующей обратной функции с помощью нейро сетей. Новизна подхода заключается в доказанных вероятностных аналогах теорем универсальной аппроксимации, дающих понятную вероятностную интерпретацию для нейросетей, моделирующих функцию распределения процесса Леви или его экстремума. Из доказанных теорем следует, что возможность аппроксимации с помощью монотонной нейросети непрерывной функции распределения приращений процесса Леви, означает возможность аппроксимировать приращений процесса Леви смесью логистических распределений и дает понятный алгоритм симуляций процессов Леви, основанный на весах аппроксимирующей нейросети, которые можно интерпретировать как вероятности выбора соответствующих логистических распределений из смеси.
Решена задача разработки нового эффективного метода упрощенной факторизации Винера-Хопфа для общих моделей Леви с приложением для вычисления цен опционов с барьерами. Обоснован метод упрощенной факторизации Винера-Хопфа для двубарьерных опционов для процессов Леви с ограниченной и неограниченной вариацией скачков. Проведена параллель между методом расщепления Марчука-Стренга и предлагаемым нами интуитивно понятным приближением процесса Леви последовательными спектрально положительными, спектрально отрицательными и спектрально положительными скачками, причем спектрально положительные скачки соответствуют половине рандомизированного момента времени. В результате получается последовательность задач для интегро-дифференциальных уравнений, каждая из которых решается методом Винера-Хопфа в полуявном виде в случае процессов неограниченной вариации. Операторы в получающихся уравнениях представляют собой композицию дифференциального оператора первого порядка и интегрального оператора, символ которого допускает аналитическое продолжение в верхнюю или нижнюю полуплоскость. Мы раскладываем характеристическую функцию рандомизированного спектрально положительного(отрицательного) процесса в виде произведения двух факторов Винера-Хопфа, первый из которых соответствует показательному распределению, а второй вычисляется ка отношения. Параметр показательного распределения численно находится как единственный нуль исходной характеристической функции с помощью метода Ньютона. Для быстрого нахождения корня можно воспользоваться методами машинного обучения (построить нелинейную регрессии или нейросеть). Первый фактор является обратным к дифференциальному оператору и поэтому как и обратный сохраняет носитель функции в пределах барьеров, а второй фактор выводит носитель только за верхний или нижний барьер. Таким образом, комбинируя последовательное применение указанных операторов Винера-Хопфа с характеристической функцией нашего интервала, мы получаем решение вспомогательной задачи. Определены направления улучшения сходимости метода. Построенный метод прост в практической реализации и легко программируем. Действие операторов Винера-Хопфа на функции осуществляется помощью быстрого преобразования Фурье. Разработанный метод упрощенной факторизации Винера-Хопфа для общих моделей Леви при замене функции выплат на индикатор функцию может быть использован для построения функций совместного распределения положений супремума и самого процесса или тройки (супремум, инфимум, процесс) и применяться для конструкции новых методов вычислительной финансовой математики для широкого спектра производных финансовых инструментов, выплата по которым зависит от положений экстремумов процесса и самого процесса.
В рамках третьей задачи проекта, разработана новая методология реальных опционов, ориентированная на качество, для моделирования и управления многоступенчатыми проектами НИОКР по разработке лекарств, основанная на составных опционах с процессами Леви. В качестве модели качества лекарства использован сложный процесс Пуассона, интенсивность которого моделирует получение новой информации о качестве разрабатываемого лекарства, а дискретная случайная величина амплитуды скачков моделирует соответствующие изменения в качестве. Новая методика использует более реалистичный фактор формирования цены на лекарства и более адекватную модель стоимости многофазных проектов НИОКР по разработке лекарств, чем обычно используемая модель геометрического броуновского движения, моделирующая доходы компании после запуска проекта, которые невозможно корректно оценить в период выполнения НИОКР. В результате решения третьей задачи проекта разработана методика вычисления цен сложных реальных опционов в модели сложный процесс Пуассона с дискретными скачками, даны явные формулы для вероятностей возможных состояний на каждой фазе, для вероятностей перехода на следующую фазу при условии успешного прохождения предыдущих стадий и для ожидаемых потерь. В модель введены новые инструменты для менеджера проекта – барьеры эффективности, которые позволяют управлять соотношением стоимость проекта и ожидаемые потери на всех стадиях проекта.
Предварительные результаты проекта представлены в 7 публикациях, включая 3 статьи в журналах, входящих в базы Web of Science/Scopus, на 6 международных научных конференциях в России и за рубежом, включая международную конференцию 2023 года по актуарной науке, количественным финансам и управлению рисками (Китай) и ежегодную конференцию Британской ассоциации бухгалтерского учета и финансов (Великобритания).