Проект относится к финансовой математике и направлен на решение фундаментальной задачи — построение комплексной технологии управления рисками на финансовом рынке. Несмотря на то что, проводимое исследование ориентировано на российский срочный рынок, полученные результаты представляют интерес как для развитых финансовых рынков на Западе, так и для развивающихся срочных рынков Азии. Эффективное управление финансовыми рисками является одной из важнейших задач для обеспечения устойчивого развития экономики и финансового сектора. Решение поставленной задачи осуществлялось в нескольких направлениях. Эмпирической базой исследования данные торгов российского фондового и срочного рынка по наиболее ликвидным ценным бумагам, фьючерсам и опционам. В ходе проекта было разработано программное обеспечение для сбора данных торгов московской биржи в реальном времени через брокерские приложения Quik и Alfabank. Реализовано многопоточное API, позволяющее получать полный список сделок по всем инструментам срочного рынка в течение торгового дня. Данные сохранялись в иерархической базе данных HDF5, что позволяло впоследствии эффективно с ними работать и проводить численные эксперименты. Первое направление исследований в рамках проекта было связано с моделированием российского срочного рынка и характеристикой финансовых рисков срочного рынка в целом.

В ходе выполнения проекта были проведены исследования по выбору адекватных моделей российского фондового и срочного рынка с применением методов параметрической и непараметрической статистики. В качестве наиболее перспективных моделей (отличающихся от классической модели Блэка-Шоулза) для анализа были выбраны популярные модели финансовых рынков, имеющие диффузионную часть: модель Мертона (диффузия и обобщенный процесс Пуассона с нормально распределенными скачками), модель Хестона (диффузионный процесс со стохастической волатильностью), модель Бейтса (диффузионный процесс со стохастической волатильностью и обобщенный процесс Пуассона с нормально распределенными скачками).

Как показали результаты анализа, метод моментов плохо подходит к российскому срочному рынку. Более эффективным оказался подход, основанный на методах непараметрической статистики: параметры моделирующего процесса подбираются на основе реальных цен опционов путем минимизации квадратичной ошибки отклонения теоретических цен от эмпирических в случае процессов Леви (на примере модели Мертона) и метод многопараметрического градиентного спуска для моделей Хестона и Бейтса. Для всех трех моделей суммарная квадратичная ошибка достаточна мала, следовательно, их можно использовать на российском срочном рынке. В настоящий момент на рынке фьючерсов и опционов FORTS обращаются производные финансовые инструменты, базовыми активами которых являются: индекс РТС, отраслевые индексы, акции и облигации российских эмитентов, облигации федерального займа, иностранная валюта, средняя ставка однодневного кредита MosIBOR и ставка трёхмесячного кредита MosPrime, а также товары — нефть марки Urals, дизельное топливо, золото, серебро, сахар. Всё это даёт широкие возможности инвестору для управления рисками по своему портфелю, состоящему из различных активов, будь то акции, облигации или валюта, но с другой стороны возникает огромная потребность в инструментах прогнозирования и анализа нового рынка для оценки рисков и построения оптимального портфеля под конкретные задачи. Особенно характерна данная проблема для опционов FORTS, объём торговли по которым значительно уступает объёму по фьючерсам, в отличие от западных площадок. Главным образом это связано с непониманием данного инструмента большинством инвесторов из-за отсутствия соответствующих аналитических продуктов.

Ключевым статистическим финансовым показателем, характеризующим изменчивость цены, важным для правильной оценки опционов является волатильность базового актива. В случае, когда базовый актив — фьючерс на фондовый индекс, данную величину рассматривают как волатильность рынка в целом. Это один из самых важных рыночных индикаторов. Исследование адекватности моделей российского финансового рынка проводилось в дальнейшем на основе анализа квадратической вариации, приближенные оценки которой используются для оценки важнейшего количественного показателя риска на финансовом рынке, — индекса волатильности. В рамках проекта был адаптирован к российскому срочному рынку подход, основанный на аппроксимации индекса волатильности с помощью интегрирования прогнозной вариации для широкого класса моделей со стохастической волатильностью, допускающих редкие скачки (например, описываемые обобщенным процессом Пуассона), и апробирован на реальных рыночных данных цен опционов на индекс РТС.

Численные эксперименты показали, что новая методика лучше аппроксимирует квадратическую вариацию, чем индекс RTSVX, однако также в значительной степени недооценивает реализованную волатильность. На основе проведенного исследования можно сделать вывод, что для моделирования динамики российского финансового рынка, следует использовать модели более частыми скачками. Для подтверждения предположения о наличии частых скачков в динамике наиболее ликвидного базового актива на российском срочном рынке было проведено исследование временного ряда логарифмов доходностей индекса РТС за 3 года (15.09.2012-15.09.2015) на активность скачков путем анализа степенной вариации данного ряда. Для оценки индекса активности по реальным данным был применен графический метод квантилей распределения и вычислена точечная оценка для каждого торгового дня, как интегральное среднее за день. Построение гистограммы распределения дало неожиданный результат: почти все значения лежат в достаточно узком диапазоне (1.69685, 1.74198). Таким образом, наиболее адекватными моделями для индекса РТС и фьючерса на РТС являются процессы Леви неограниченной вариации без диффузионной компоненты (например, модель KoBoL/CGMY – чисто негауссовский процесс Леви, допускающий бесконечно много малых скачков).

Обнаружено, что процессы Леви с неограниченной вариацией без диффузионной компоненты лучше описывают динамику российского финансового рынка. С помощью методики статического хеджирования была предложена новая формула индекса волатильности свободная от модели в классе процессов Леви, допускающая представление индекса волатильности через цены европейских опционов, алгоритм программно реализован ((https://github.com/inwise/VolatylityIndexLevyCPP). Таким образом, методами статического хеджирования в проекте предложены два новых индекса волатильности российского срочного рынка, позволяющих обобщенно прогнозировать изменение цен на российском срочном рынке. Этот подход может быть применен для других срочных рынков. Более того, построенные индексы волатильности по сути являются справедливой ценой исполнения для свопа волатильности в своих классах моделей.

Новые методы вычисления индекса волатильности также были внедрены в программный продукт Premia (web-портал: www.premia.fr) в рамках участия руководителя проекта в международном научно-исследовательском проекте по финансовой математике “MathRisk” на базе французского национального научно-исследовательского института информатики и автоматизации в Париже (INRIA, Paris, web-портал: www.inria.fr). Программный продукт Premia решает задачи по ценообразованию опционов, хеджированию и калибровке моделей финансовых рынков и разрабатывается в тесном сотрудничестве с консорциумом финансовых институтов, включающим в себя ведущие банки Франции и Австрии. Отдельным направлением исследования было исследование вопросов управления финансовыми рисками российского срочного рынка методами машинного обучения. Был также проведён анализ поведения параметров процессов в динамике с применением методов машинного обучения. Аккумулировав историю торгов в виде сделок по фьючерсу на индекс РТС, а также наиболее ликвидным опционам на этот фьючерс, мы сравнили модели Блэка-Шоулза, Хестона и Мертона, принимая во внимание точность калибровки и способность наиболее широко применяемых регрессионных моделей машинного обучения (SVM-regression, случайный лес, деревья принятия решений) предсказывать изменение их параметров на основе истории изменения «цен» активов и предыдущих значений параметров моделей. В ходе исследования, в частности, выяснилось, что наиболее точные предсказания (среди рассмотренных моделей и методов обучения) можно получить, используя модель Хестона и случайный лес регрессии. Модель Блэка-Шоулза (без допущения «улыбки») при использовании тех же методов обучения демонстрирует несколько худшее поведение, несмотря на меньшее количество параметров модели, которые необходимо прогнозировать.

Одной из задач участников биржевого рынка является прогнозирование динамики цен финансовых инструментов. В рамках проводимого исследования мы проанализировали несколько популярных стратегий, относящихся к техническому анализу, на примере нескольких ценных бумаг, торгуемых на Московской Бирже. Кроме того, на основе исторических данных и значений индикаторов этих стратегий мы попытались предсказать будущее значение и направление изменения цены, используя случайный лес (из деревьев классификации и регрессии, соответственно) и проверить эффективность торговых стратегий, основанных на полученных предсказаниях. Полученные результаты позволили выработать ряд рекомендаций для дальнейших исследований в этой области и построения торговых стратегий для торговли опционами на рассматриваемые ценные бумаги.

Был проведён сбор исторических данных, анализ и моделирование поведения рынка, сконструированы примеры построения торговых стратегий и разработан ряд подходов к непараметрической оценке производных ценных бумаг с применением методов машинного обучения. Отмечено явление кластеризации волатильности при анализе цен некоторых акций российского рынка. Используя случайный лес регрессии и классификации на специальным образом обработанных данных о ходе торгов, были построены и рассмотрены с точки зрения устройства и производительности торговые стратегии для опционных контрактов, основанные на явлении кластеризации волатильности. Особенностью предложенного подхода является учёт явления постепенного смещения центрального страйка и соответствующая адаптация поведения торговой стратегии. Алгоритмы регрессии также были использованы для анализа поведения параметров моделей в динамике. Об используемых методах и алгоритмах машинного обучения для построения торговых стратегий.

В рамках проводимого исследования мы проанализировали две стратегии следования тренду, основанные на распространённых индикаторах, а именно: индикатор направленного движения (DMI) (от англ. Directional Movement Index), индекс относительной силы (RSI) от англ. relative strength index), историческую волатильность (VOL) за небольшой торговый период. Для указанных индикаторов были разработаны следующие торговые стратегии: “жадная” стратегия следования тренду, “осторожная” стратегия, стратегия с использованием случайного леса классификации, а также стратегия и использованием леса регрессии. В первом случае, идея подхода состояла в разработке стратегии, которая проверяет существование тренда и осуществляет открытие и закрытие позиций согласно определённому состоянию.

Во втором – на учёте дополнительного «фильтрующего» условия входа, которое делает её менее чувствительной к небольшим колебаниям цены На тех же исходных торговых данных и вычисленных значениях индикаторов были обучены модели машинного обучения «случайный лес регрессии» и «случайный лес классификации», основанные на применении ансамбля решающих деревьев. Проведена соответствующая обработка исходных данных, разбиение на обучающее и два тестовых множества и использована процедура кросс-валидации. В третьем, исходя из имеющихся данных за предыдущий торговый день и всех вычисленных значениях индикаторов, мы использовали случайный лес регрессии для прогнозирования цены закрытия на текущий день. Выбранный подход к реализации стратегии, основанной на предсказанных результатах, сводится к генерации входа в случае, когда предсказание леса оказывается благоприятным для входа и закрытию позиции, когда предсказание является неблагоприятным для её удержания. В чётвёртом случае, используя аналогичные соображения, мы применили случайный лес, решающий задачу бинарной классификации. Исследование, связанное с торговыми стратегиями для опционов, основано на собранных авторами исторических данных. Идея исследования состоит в том, чтобы прогнозировать появление эффекта, известного как «кластеризация волатильности» («volatility clustering»), и использовать его в качестве основы для принятия решений по открытию или закрытию торговых позиций. Мы подготовили для обучения выборку с данными о состоянии торгов по всей доске опционов за торговый период, данными о цене базового актива, вычислили центральный страйк и произвели процедуру заполнения отсутствующих цен. Обработка проводилась по алгоритмам, аналогичным представленной в статьях[35, 37]. Состояния волатильности были разделены на два класса «высокая» и «низкая». Порог был установлен так, чтобы максимизировать вероятность появления классификации. Случайный лес классификации успешно был использован для прогнозирования появления эффекта кластеризации. Были разработаны 2 стратегии, основанные на применении случайного леса регрессии и классификации: основанная на применении случайного леса, решающего задачу бинарной классификации и основанная на применении леса регрессии, предсказывающего конкретное значение волатильности. В обоих случаях подход сводится к генерации входа в случае, когда предсказание леса оказывается благоприятным для входа и закрытию позиции, когда предсказание является неблагоприятным для удержания позиции.

На рассматриваемой истории торгов оказалось возможным как спрогнозировать изменение волатильности и появление кластеризации (точность классификации составила 61%), так и использовать полученные данные для построения стратегий, которые принесли прибыль при тестировании, по сравнению с аналогом стратегии «купи и держи» для опционов. Отдельное внимание в ходе реализации проекта было уделено управлению валютным рискам и выявлению арбитражных возможностей. По аналогии с построением индекса волатильности, свободного от модели, подходы, основанные на статическом хеджировании и учитывающие особенности российского срочного рынка, были применены к управлению валютными рисками. Для более тонкого управления валютными рисками предлагается использовать барьерные опционы, в настоящее время не обращающиеся на Московской бирже. Показано, что барьерный опцион можно реплицировать с помощью портфеля европейских опционов, ценами исполнения которых являются барьер и цена исполнения барьерного опциона. Приведены примеры построения реплицирующих портфелей из опционов на фьючерсный контракт на курс доллар США – российский рубль. Дальнейший анализ динамики стоимости портфеля демонстрирует неадекватность классической модели Блэка-Шоулза для российского срочного рынка и наличие арбитражных возможностей. Подтвердилось утверждение о том, что существенно лучшую способность отражать динамику рыночных цен демонстрируют модели со стохастической волатильностью и модели, допускающие скачки.

Прогнозирование финансовых временных рядов является нетривиальной задачей в силу наблюдаемой нестационарности и наличия шума в данных. Остается открытым вопрос, в какой мере история прошлого поведения финансовых рынков содержит информацию о зависимостях между будущими ценами и прошлыми. В проекте была рассмотрена задача прогнозирования подразумеваемой волатильности (implied volatility) опционов на индекс РТС по прошлым значениям данного параметра и реализованной волатильности. Основная идея заключается в том, чтобы выявить паттерны поведения при принятии решения о текущем значении подразумеваемой волатильности, так как цена формируется в результате влияния человеческого фактора. В упрощенной формулировке задача сводится не к прогнозированию конкретного значения подразумеваемой волатильности, а к вопросу будет она расти или падать, то есть к задаче бинарной классификации. Для решения данной задачи использовались методы машинного обучения, включающие в себя: нейронный сети, SVM и случайные леса. В результате обработки реальных данных дается рекомендация купить или продать опцион. Другим важным направлением проекта стала разработка новых эффективных математических методов оценки и анализа финансовых рисков, связанных с поведением базовых активов.

Для управления рисками портфеля ценных бумаг инвестор должен уметь оценивать финансовые риски, связанные с изменением цен базового актива. С точки зрения финансовой инженерии, удобным инструментом для описания такого риска является производная ценная бумага, называемая опционом. Важным элементом данного направления исследования является вычисление цен опционов в адекватных моделях российского срочного рынка. Напомним, что одновременно с началом первых торгов на Чикагской бирже в 1973 году, появляются работы Р.С.Мертона, Ф. Блэка и М. Шоулса, посвящённые ценообразованию опционов. На основе этих работ была построена теория ценообразования деривативов, использующая гауссовские процессы для моделирования финансовых рынков. Согласно этой теории, справедливые цены опционов представляют собой определённые функционалы от моделирующего процесса. По сути, опцион представляет собой контракт, который в обмен на премию (цену опциона) даёт право его владельцу при осуществлении определённых условий продать или купить некоторый финансовый актив по фиксированной цене.

Вычисление справедливой цены опциона в модели Блэка-Шоулса, как правило, сводится к решению дифференциального уравнения в частных производных с определёнными начальными и краевыми условиями или свободной границей. Данное уравнение в финансовой математике носит имя Блэка-Шоулса и является ничем иным, как обратным уравнением Колмогорова. Вместе с тем, непрерывность траекторий и «тонкие хвосты», приводящие к недооцениванию ценовых рисков, делали эту модель не слишком близкой к реальности. С конца прошлого века выделился определённый класс более реалистичных негауссовских процессов Леви, обобщающих модель Блэка-Шоулса. Преимуществом новых моделей является с одной стороны возможность моделирования скачков цены акции, с другой более реальная оценка ценовых рисков. В отличие от гауссова случая, соответствующие функционалы от процессов Леви связаны с интегро-дифференциальным уравнением Колмогорова (обобщённым уравнением Блэка-Шоулса). Решение подобных уравнений — это сложная с вычислительной точки зрения задача, требующая больших временных ресурсов. Наличие стохастической волатильности в модели Леви увеличивает размерность задачи, коэффициенты уравнения становятся переменными, что значительно усложняет ее решение. В ходе проекта предложены подходы, позволяющие быстро и точно решать подобного рода уравнения, и соответственно анализировать соответствующие риски.

В рамках проекта были рассмотрены следующие виды рисков и соответствующие им опционы (как средство оценки и управления): риск изменения цены в течение определенного периода времени(американские опционы, опционы swing), риск ограниченного изменения цены в течение определенного периода времени (барьерные опционы), риск пересечения активом ценового барьера (опционы первого касания, англ. first touch digital), размер потенциальных потерь при заданном уровне допустимого риска (iVaR (англ. intra-horizon Value-at-Risk) определяется через цены опционов первого касания); риски ликвидности (опционы типа lookback). Основой для оценки указанных финансовых рисков стало усовершенствование приближённой факторизации Винера-Хопфа, авторского метода руководителя проекта. Метод “Быстрой факторизации Винера-Хопфа” (БФВХ) включает в себя эффективную практическую реализацию операторов ожидаемой дисконтированной стоимости и позволяет быстро и точно вычислять цены опционов для широкого класса моделей. В ходе проекта были получены новые более универсальные и эффективные с точки зрения численной реализации формулы факторизации, которые не требуют выделения главной части из символа оператора, связанного с задачей оценивания опциона. По сути, аппроксимируемые факторы Винера-Хопфа являются характеристическими функциями процессов максимума и минимума, с которыми напрямую связан анализ пересечения ценовых барьеров. Таким образом, для всех типов финансовых рисков рассмотренных в проекте факторизация Винера-Хопфа имеет ключевое значение. Основная идея, лежащая в основе новых факторизационных формул, заключается в представлении факторов Винера-Хопфа в виде свертки индикатор-функцией правой (левой полуоси) с хорошо численно интегрируемой функцией. Численная реализация свертки осуществляется с помощью быстрого преобразования Фурье. В отличие от явных формул факторизации, в которых необходимо вычислять двойной интеграл за O(M*M) операций, в новом методе последовательно вычисляются два одномерных интеграла Фурье за О(МlnM) операций, где М — количество точек дискретизации интеграла. Новые формулы приближенной факторизации опубликованы в рамках проекта в международном журнале Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana, входящем в Web of Science. Метод БФВХ, основанный на свойствах безгранично делимых распределений и алгоритме быстрого преобразования Фурье, по простоте реализации близок к конечно-разностным схемам, но существенно выигрывает в скорости и точности, что подтверждается вычислительными экспериментами.

В контексте управления рисками цен на электроэнергию была усовершенствована методика вычисления цен деривативов, дающих возможность многократной продажи электроэнергии по фиксированной цене, и опубликована в главе монографии «Commodities» серии «Financial Mathematics Series» международного издательства Chapman and Hall/CRC». Указанные опционы называются опционами типа “swing” и активно используются на западных энергетических рынках. В связи с либерализацией рынка электроэнергии в России, введение подобных производных инструментов в нашей стране для защиты от рисков резкого колебания цен на электричество является целесообразным. При реализации метода для моделей Леви численно решается иерархическая последовательность задач для интегро-дифференциальных уравнений методм Винера-Хопфа и на каждом шаге находится граница оптимального исполнения опциона. Для вычисление рисков пересечения ценовых барьеров в достаточно общих моделях Леви, допускающих скачки, новый метод приближенной факторизации Винера-Хопфа был использован в сочетании с техникой интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Величина риска первого пересечения барьера совпадает с ценой специального вида опционов с барьером – цифровым опционом первого касания (англ. first touch digital). Решая задачу по по вычислению опционов первого касания в экспоненциальных моделях Леви указнные численные методы применялись для решения соответствующих интегро-дифференциальных уравнений. Показано, что скорость вычисления при применении численных методов, которые начинаются с дискретизации времени, может быть существенно увеличена (до нескольких десятков раз) при помощи использования аппарата преобразования Лапласа. Разработаны два новых эффективных метода для оценки опционов первого касания для широкого класса процессов Леви, основанных на обращении преобразования Лапласа и численной факторизации Винера-Хопфа. В первом используется алгоритм Гейвера-Стехфеста, во втором — формула Поста-Виддера. Проведены необходимые численные эксперименты, подтверждающие преимущества новых методов. С рисками пересечения определенных ценовых барьеров связано вычисление показателя риска iVaR (англ. intra-horizon Value-at-Risk), который измеряет потенциальные потери в стоимости финансового актива в течение определенного периода времени при заданном уровне риска. Для нахождения iVaR необходимо решить уравнение, в котором цена опциона первого касания приравнивается допустимому риску first touch digital, а неизвестной величиной является барьер. Риск ликвидности имеет ключевое значение на финансовых рынках. Под риском ликвидности будем понимать неспособность своевременно закрыть позицию по приемлемой цене. В особенности его роль возрастает при резких движениях цен финансовых активов, которые наблюдаются на большинстве торговых площадок, а особенно на российском финансовом рынке, где модели Леви, допускающие скачки, являются наиболее приемлемыми моделями.

Риск ликвидности включает два вида торговых ограничений, связанных со стоимостью мгновенного исполнения сделки и стоимостью ожидания возможности совершить сделку. Примером второго вида торговых ограничений могут служить сделки РЕПО (от англ. repurchase agreement, repo), при которых участник финансового рынка фактически берет кредит под залог своих ценных бумаг путем их продажи с обязательством обратной покупки через определённый срок по заранее оговоренной цене. Поскольку право собственности на ценные бумаги переходит от продавца к покупателю на период сделки, для продавца его ценные бумаги становятся неликвидными. Операции РЕПО по своему характеру являются краткосрочными и обычно имеют срок менее года. На Московской бирже указанные сделки могут длиться 1, 7 и 14 дней При отсутствии торговых ограничений, инвестор мог бы продать по максимальной цене, которая достигается активом в течение данного периода времени. Ожидаемая разница между максимальной ценой за период и ценой в конце периода дает верхнюю границу стоимости неликвидности и может быть интерпретирована как опцион европейский lookback типа put c плавающей ценой исполнения с начальной ценой базового актива. Для оценки такого рода рисков в моделях Леви в проекте предполагается использовать два подхода. Первый подход представляет собой новый метод Монте-Карло, основанный на факторизации Винера-Хопфа, и позволяющий моделировать совместное положение цены и ее максимума за определенный период. Второй подход комбинирует приближенную факторизацию Винера-Хопфа с методом интегральных преобразований.

В случае моделирования финансовых активов с помощью процессов Леви, для оценки рисков пересечения фиксированных ценовых барьеров и рисков ликвидности разработан новый оптимизированный метод Монте-Карло, основанный на приближенной факторизации Винера-Хопфа. Разработанный метод позволяет моделировать совместное положение цены и ее максимума за определенный период. Вычислительные эксперименты показывают преимущество предлагаемого метода перед стандартным методом Монте-Карло. Одним из важных достоинств нового универсального метода приближенной факторизации является скорость – он позволяет за секунды (в некоторых случаях — доли секунды) решать огромный спектр задач финансовой математики. В частности, появляется возможность быстро вычислять безарбитражные цены барьерных, американских опционов, цифровых опционов первого касания, опционов Swing в общих моделях Леви. Таким образом, становится практически возможным калибровать модели финансового рынка, допускающие скачки, с использованием цен опционов не только европейского стиля, что значительно расширяет диапазон возможностей при построении инструментов управления риском.

В рамках исследования получен ряд результатов, касающихся обобщения и адаптации метода факторизации Винера-Хопфа для моделей со стохастической волатильностью и моделей, допускающих кроме того скачки. Как показали проведенные в рамках проекта по моделированию российского срочного рынка, поведение цен ликвидных финансовых активов может быть описано с помощью моделей со стохастической волатильностью: Хестона и Бейтса. Таким образом, возникла необходимость развития математических методов оценки опционов в моделях Леви со стохастической волатильностью. В проекте в указанных моделях оценивался риск ограниченного изменения цен базового актива, описываемый барьерным опционом. Задача оценивания такого опциона сводится к решению интегро-дифференциального уравнения в частных производных с переменными коэффициентами с определенными начальными и граничными условиями, численное решение которой с помощью стандартных методов вызывает существенные трудности. Предложенный в проекте подход совмещает аппроксимацию процесса вариации марковской цепью с двумя состояниями и применение рандомизации времени. Для устранения корреляции между процессом цены и вариации делается подходящая замена и рассматривается поведение процессов на достаточно малых интервалах времени, при этом значение вариации фиксируется состоянием марковской цепи. После проведения аппроксимации мы получаем в каждом узле соответствующего процессу вариации биномиального дерева две одномерные задачи на полуоси, обусловленные будущими возможными значениями вариации. Это дает возможность использования метода Винера-Хопфа для решения соответствующих одномерных задач относительно пространственной переменной. Математическое ожидание полученных решений одномерных задач относительно вероятностей перехода, дает промежуточное решение в каждом узле дерева вариации.

В случае модели Хестона, мы используем явные формулы факторизации, а для модели Бейтса и более общих моделей Леви со стохастической волатильностью следует использовать авторский метод «Быстрой факторизации Винера-Хопфа». Кроме универсальности, к преимуществам разработанного метода вычисления цен барьерных опционов в моделях со стохастической волатильностью можно отнести способность точно отражать поведение цены опциона вблизи барьера — там, где вычисление цены, как правило, представляет наибольший интерес с практической точки зрения. За один проход алгоритма становится возможным вычислить цены барьерного опциона в широком диапазоне цен базового актива, что является удобным для случаев, когда необходимо получить более чем одно значение (или для набора различных цен исполнения опционов). Предлагаемый метод вычисления стоимости барьерного опциона может быть использован для решения широкого спектра задач управления рисками, связанными с переходом цены через известный фиксированный барьер и является важным инструментом в составе комплексного алгоритма управления рисками инвестиционного портфелем. Как показали результаты численных экспериментов, новый метод лучше описывает поведение цены опциона вблизи барьера по сравнению с имеющимися аналогами. Основные результаты, касающиеся вычисления барьерных опционов моделях Хестона и Бейтса опубликованы в международных журналах «Theory of Probability and its Applications» (Web of Science)и «Applied Mathematical Sciences» (индексируется в Scilit (Switzerland), EBSCO (USA) и др.).

Расширенная статья по последним результатам исследования для моделей Леви со стохастической волатильностью на английском языке получила положительную рецензию Оргкомитета международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» и направлена для публикации в международный журнал «Journal of Physics: Conference Series», индексируемый в Web of Science и Scopus. Таким образом, в проекте предложен эффективный инструментарий математических методов анализа и управления широким спектром финансовых рисков российского срочного рынка, включающий в себя выбор адекватных моделей, отличающихся от классической модели Блэка-Шоулса. Комплексный алгоритм управления рисками инвестиционного портфелем, включает в себя следующие шаги: 1. Проверка наличия диффузионной компоненты в модели или наличия частых скачков на основе анализа индекса активности; если индекс активности меньше двух, то для моделирования лучше использовать негауссовы модели Леви. 2. Выбор адекватной модели для интересующего актива российского финансового рынка, методами непараметрической статистики: параметры моделирующего процесса подбираются на основе реальных цен европейских опционов путем минимизации квадратичной ошибки отклонения теоретических цен от эмпирических или методом многопараметрического градиентного спуска (на выбор инвестора). Математический аппарат, разработанный в рамках проекта позволяет работать инвестору с широким спектром моделей, включающим в себя модели Хестона, Бейтса и модели Леви: Блэка-Шоулса (без скачков), Мертона, Коу (с редкими скачками), KoBoL/CGMY, Normal Inverse Gaussian, Variance Gamma (с частыми скачками). Минимизация квадратичной ошибки при подборе параметров модели может быть заменена на более тонкую ошибку, учитывающую абсолютную и относительную разницу в ценах (сумма разностей отклонения теоретических цен от эмпирических, умноженных на логарифмы (натуральные) отношений теоретических цен к эмпирическим). При появлении на российском срочном рынке новых производных инструментов (например, барьерных опционов) дополнительно осуществлять подбор параметров процесса по ценам этих деривативов 3. Оценка финансовых рисков, связанных с рынком в целом, осуществляется с помощью индекса волатильности свободного от модели. Выбор класса модели рынка (диффузионные модели с редкими скачками или негауссовы модели Леви) осуществляется на основе анализа квадратической вариации и индекса активности логарифмов приращения цен на фьючерс индекса РТС. 4. Оценка риска ликвидности при осуществлении сделок РЕПО. Оценив риск ликвидности перед сделкой РЕПО, инвестору следует проводить динамический мониторинг данного риска с учетом изменения цен на актив, находящийся в залоге. 5. Оценка рисков пересечения определенных инвестором ценовых барьеров с помощью разработанных в проекте методов для выбора торговых стратегий (покупки/продажи) финансового актива. 6. Оценка потенциальных потерь в течении определенного периода инвестирования на основе показателя iVaR 7. Применение методов машинного обучения с использованием существующих индикаторов риска (индикатора направленного движения DMI, индекса относительной силы RSI, исторической волатильности (VOL), прогнозной волатильности и т.д.) и разработанных в проекте показателей риска (индекса волатильности, риска пересечения фиксированных ценовых барьеров, iVaR, рисков ликвидности) для управления финансовыми рисками и рекомендациями о продаже или покупке. Методы машинного обучения могут также применяться для динамической корректировки параметров выбранной модели. 8. Применение статического хеджирования экзотических опционов (в случае их появления на рынке).

Результаты проекта в целом были реализованы программно и объединены в виде набора библиотек и управляющей системы на языках Python и C++, запускаемой под управлением ОС Windows на PC. Разработанная система реализует комплексный алгоритм управления рисками инвестиционного портфеля, включая вопросы хеджирования и выбора оптимальной модели на основе исторических данных фондового и срочного рынков. Полученный программный продукт зарегистрирован в ФГБУ «Федеральный институт промышленной собственности» под названием «Информационная система для управления рисками инвестиционного портфеля на основе исторических данных фондового и срочного рынков – Пиргос», свидетельство о регистрации программы для ЭВМ RUS 2018615359 28.12.2017 (https://github.com/inwise/Pyrgos).

Основные результаты проекта опубликованы в виде монографии. В ходе выполнения подготовлено 2 программных комплекса и 40 публикаций, в том числе 10 статей в российских журналах из Перечня ВАК и 4 статьи в международных журналах, входящих в базы цитирования Web of Science. Результаты представлены на престижных научных конференциях и научных семинарах в России, Германии, Великобритании, Мексике, ОАЭ и Франции.