2020 год

В рамках первой цели проекта, связанной с разработкой новых численных методов оценивания опционов в реалистичных моделях финансовых рынков, были получены следующие задачи:
-разработаны методы вычисления опционов с барьерами в моделях Леви со стохастической волатильностью;

-разработан оптимизированный метод Монте-Карло для вычисления опционов, функция выплат, которых зависит от максимального или минимального значения цен базового актива;
-разработан новый метод вычисления цен опционов lookback американского стиля в модели Блэка-Шоулса;

-разработан новый эффективный метод упрощенной факторизации Винера-Хопфа, применимый к вычислению цен барьерных, двухбарьерных опционов в моделях Леви с переключением/без переключения режимов по параметрам процесса.

В направлении разработки численных методов вычисления цен опционов с барьерами в моделях Леви со стохастической волатильностью были решены следующие задачи. Построен новый общий численный метод решения начально-краевых задач специального вида для трехмерных интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с переменными коэффициентами, которые возникают в финансовой математике при вычислении цен опционов c барьерами в моделях Леви со стохастической волатильностью, которые дополнительно могут допускать скачки. Построенный метод был применен для решения задач по вычислению цен барьерных опционов в моделях Хестона и Бейтса, по нахождению функции распределения первого пересечения барьера диффузией Ито. Методы программно реализованы и опубликованы в изданиях, индексируемых в Scopus: Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, в журналах “Journal of Physics: Conference series”, “Theory of Probability and its Applications”, представлены на престижных международных конференциях.

Другим направлением исследования была разработка нового оптимизированного универсального метода Монте-Карло для вычисления цен экзотических опционов в широком классе моделей Леви. В рамках проекта предложены два обобщенных подхода к построению метода Монте-Карло на случай моделей Леви, не допускающих явную факторизацию Винера-Хопфа. Оба метода используют приближенные формулы для факторов Винера-Хопфа. В рамках первого подхода симуляция процессов супремума и инфимума в экспоненциально распределенные моменты времени осуществляется на основе обращения их приближенных функций распределения. Второй подход является оптимизированной версией первого, поскольку не требует разбиения траектории на части, предполагает непосредственную симуляцию конечных значений процесса инфимума (супремума) и может быть использован для симуляции совместного распределения положения процесса Леви и соответствующего процесса экстремума, что дает существенный выигрыш в скорости. Наиболее эффективен метод оказался, когда функция выплат опциона зависит от конечного положения процесса инфимума или процесса супремума.

Программная реализация оптимизированного метода Монте-Карло для опционов lookback европейского стиля с фиксированной и плавающей ценой исполнения с префиксированным значением экстремума для модели Tempered Stable Levy оформлена в виде программы «Lookback Option Pricer» и зарегистрирована в Роспатенте.

Разработанные методы Монте-Карло представлялись на престижных международных конференциях, в частности, на Девятом международном конгрессе по промышленной и прикладной математике (ICIAM 2019), г. Валенсия, Испания (более 4000 участников) и опубликованы на русском языке в журнале «Теория вероятностей и ее применения» и на английском в переводной версии «Theory of Probability and its Applications», индексируемой в Web of Science.

В части задачи вычисления цен опционов lookback американского стиля был разработан метод конечных разностей, позволяющий снизить размерность задачи с трехмерной до двухмерной и оценивать американские опционы lookback в рамках модели Блэка-Шоулза за миллисекунды. В отличие от европейских опционов lookback, американские опционы lookback не могут быть оценены по явным формулам даже в модели Блэка-Шоулза и требуют использования численных методов. Численный метод программно реализован. Полученные результаты представлялись в 2019 на Четвертой международной конференции по стохастическим методам (Дивноморск) и опубликованы на русском языке в журнале «Теория вероятностей и ее применения» и на английском в переводной версии «Theory of Probability and its Applications», индексируемой в Web of Science.

В части задачи вычисления цен двухбарьерных опционов в общих моделях Леви предложен новый эффективный метод приближенной факторизации Винера-Хопфа для чисто негауссовских процессов Леви со скачками конечной вариации, который получил название метода «Упрощенной факторизации Винера-Хопфа». Эта задача достаточно сложна и требует приближенных факторизационных формул и итерационной схемы приближенного решения системы из двух спаренных интегральных уравнений методом Винера-Хопфа на каждом шаге по времени или применения матричной факторизации. Основное преимущество нового метода перед аналогами заключается в простоте реализации: процесс Леви расщепляется на скачки вверх и вниз в экспоненциально распределенные рандомизированные моменты времени, цена двухбарьерного опциона аппроксимируется, путем рекуррентного решения простых уравнений Винера-Хопфа с явными решениями на интервале, определяемом барьерами. Идеи метода «Упрощенной факторизации Винера-Хопфа» могут быть перенесены на широкий спектр задач финансовой математики, включающий в себя однобарьерные опционы, модели Леви с переключением режимов. С небольшой модификацией метод может быть применен к общим моделям Леви. Метод «Упрощенной факторизации Винера-Хопфа» для однобарьерных опционов опубликован в журнале Engineering letters, индексируем в WoS/ Scopus, а для двухбарьерных опционов будет опубликован в начале 2021 года в издании Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, индексируемом в Scopus. Полученные результаты программно реализованы и представлялись в 2020 на Пятой международной конференции по стохастическим методам (Москва).

В рамках второй цели проекта, по разработке численных методов для анализа рынков, применяя методы машинного обучения, были получены следующие результаты:
-разработаны методы быстрой калибровки моделей Леви по данным рынка криптовалют с помощью методов машинного обучения;
-разработаны методики для вычисления цены опциона одного касания в моделях Леви на основе глубоких нейронных сетей и сетей с памятью;
-разработаны подходы к классификации состояний рынка и прогнозированию переходов между состояниями.

В рамках задачи о методах быстрой калибровки моделей Леви по данным рынка криптовалют была разработана и апробирована методика сбора и предварительной обработки исторических данных о ходе торгов, позволяющей получать
-синтетические цены опционов одного касания на ликвидных волатильных рынках — в частности, рынке криптовалют, в виде исторических вероятностей пересечения фиксированных барьеров процессом логарифмов приращений цены актива;
— оценки обобщенного индекса Блюменталя-Гетура, характеризующего активность скачков модели Леви, на основе анализируем степенную вариацию временных рядов лог-доходностей исторических цен криптовалют.
К размеченным таким образом данным были применены механизмы быстрой калибровки моделей Леви при помощи глубоких нейронных сетей и гауссовской регрессии процесса.
Разработанные методы представлялись на престижных международных конференциях, в частности, на 29 Европейской конференции по исследованию операций (EURO2018), г. Валенсия, Испания (web-портал: http://euro2018valencia.com/) Методы программно реализованы и опубликованы в изданиях, индексируемых в Scopus: в журналах “Journal of Physics: Conference series”, “Theory of Probability and its Applications”. Алгоритм анализа обобщенного индекса Блюменталя-Гетура на примере криптовалют Bitcoin и Etherium опубликован в серии статей в журналах «Учет и Статистика» и «Инженерный Вестник Дона» (Перечень ВАК).

В части вычисления цен опционов в моделях Леви с помощью методов машинного обучения разработаны методики для вычисления цены опциона одного касания в моделях Леви на основе глубоких нейронных сетей и сетей с памятью, результаты апробированы для модели GCMY. Первая методика применяет механизм непараметрической оценки стоимости опционов путем обучения рекуррентной искусственной нейронной сети по синтетическим ценам опционов одного касания. Вторая методика в качестве входных параметров получает параметры модели CGMY и нейронная сеть обучается на ценах, рассчитанных методом приближенной факторизации Винера-Хопфа. Результаты программно реализованы и представлены в 2019 году на международной конференции “Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis IX”, (Ростове-на-Дону) и в 2020 году на Пятой международной конференции по стохастическим методам (Москва).

В рамках разработки подходов к классификации состояний рынка
реализована нейронная сеть, предсказывающая значение коэффициента линейной регрессии показателей логарифмической доходности валютной пары BTC/USD. Разработана методика обоснованного выбора стратегии при ведении торгов на валютной бирже на основе предсказанного значения коэффициента линейной регрессии. Выделено три класса состояний рынка криптовалют:
-ожидается повышение цены в следующем наблюдаемом периоде (сигнал к покупке в текущем периоде с тем, чтобы продать по более высокой цене в следующем периоде);
-ожидается снижение цены в следующем наблюдаемом периоде (сигнал к продаже в текущем периоде с тем, чтобы купить по более высокой цене в следующем периоде);
-невыраженное состояние, когда нет достаточных оснований для выбора стратегии покупки или продажи валюты.
Разработан алгоритм для классификации состояний рынка и прогнозирования переходов между ними, пригодный для использования на рынках с достаточно длинной историей торгов. Метод основан на модели с переключением режимов и использует набор моделей Леви, которые анализируются на предмет адекватности отражения особенностей распределения вероятностей логарифма приращения цены базового актива.
Методы программно реализованы. Полученные результаты представлялись в 2019 на Четвертой международной конференции по стохастическим методам (Дивноморск) и в 2020 году на Пятой международной конференции по стохастическим методам (Москва). Представленные результаты опубликованы в 2020 году в журнале «Теория вероятностей и ее применения».
В 2021 году по основным результатам исследования будет опубликована расширенная статья в «Springer Proceedings in Mathematics & Statistics», индексируемом в Scopus.

По основным результатам работы по первой цели проекта подготовлена глава «Numerical Methods for Pricing Options under Levy Processes : the Approximate Wiener-Hopf Factorization Techniques» для монографии Applications of Levy Processes», готовящейся к публикации в международном издательстве Nova Science Publishers, издания которого индексируются в Scopus.
По основным результатам работы по второй цели проекта подготовлена глава «A machine learning approach to option pricing under Levy processes» для монографии Applications of Levy Processes», готовящейся к публикации в международном издательстве Nova Science Publishers, издания которого индексируются в Scopus.
Главным редактором книги является руководитель проекта О.Е. Кудрявцев.

Авторским коллективом подготовлена и зарегистрированна в Роспатенте программа для ЭВМ:
— Программный интерфейс «Программа для управления рисками инвестиционного портфеля – Пиргос 2.0 (Диурн)» для работы с численными методами, разработанными в рамках проекта.

2019 год

В рамках первой цели проекта, связанной с разработкой новых численных методов оценивания опционов в реалистичных моделях финансовых рынков были решены следующие задачи.

Во второй год работы над проектом в части задачи вычисления цен цифровых опционов первого касания в моделях со стохастической волатильностью был предложен новый численный метод для решения определённого типа задач с граничными условиями для трёхмерных дифференциальных уравнений, связанных с распределениями первого пересечения барьера диффузиями Ито.

Представленный метод основан на вероятностной интерпретации задачи, включающей приближение марковской цепью и факторизацию Винера-Хопфа.

Сначала мы применяем рандомизацию Карра и приближаем вторую компоненту соответствующего диффузионного процесса марковской цепью.

Это позволило свести оригинальную проблему к последовательности одномерных дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями, связанными с гауссовскими процессами, постоянные коэффициенты которых определяются построенной нами марковской цепью.

Кроме того, мы предлагаем способ улучшения процедуры аппроксимации, позволяющий уменьшить количество используемых вершин.

Аналитическое решение для каждой из задач затем выражается в вероятностных терминах факторизации Винера-Хопфа.

Явные и приближённые формулы факторизации были реализованы численно с применением алгоритма быстрого преобразования Винера-Хопфа.

Результаты опубликованы в виде статьи в сборнике Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, индексируемом в Scopus.

На основе рассмотренного подхода предложен метод вычисления цен опционов для моделей со стохастической волатильностью, допускающих экспоненциально распределённые скачки.

Мы использовали вероятностную интерпретацию задачи, которая позволяет применить рандомизацию Карра для уменьшения размерности и использовать факторизацию Винера-Хопфа для решения возникающих одномерных задач.

Ключевой идеей предлагаемого подхода является выразить операторы ожидаемой стоимости, возникающие в ходе факторизации, в виде свёрток с экспоненциальными распределениями специального вида.

Метод был обобщён на случай присутствия экспоненциально распределённых скачков при помощи техники расщепления оператора исходной задачи.

Для вычисления факторов Винера-Хопфа, связанных со скачковой компонентой оператора, также используются свёртки с экспоненциальными ядрами.

Предлагаемая итеративная схема численной реализации, позволяющая вычислять факторы Винера-Хопфа, является значительно более эффективной с точки зрения вычислительной сложности, чем стандартный подход, основанный на быстром преобразовании Фурье.

Результаты опубликованы в виде статьи «On using convolutions with exponential distributions for solving a Kolmogorov backward equation» в журнале “Journal of Physics: Conference series”, индексируемом в Scopus.

В части задачи вычисления цен двухбарьерных опционов в общих моделях Леви предложен новый эффективный подход для чисто негауссовских процессов Леви со скачками конечной вариации.

На первом шаге, применяется рандомизация Карра, эквивалентная дискретизации времени, при которой промежуток времени T разбивается на n частей длиной t.

В общем случае процессов Леви необходимо факторизовать матрицу функций размера 2 на 2. Эта задача достаточно сложна и требует приближенных факторизационных формул и итерационной схемы приближенного решения системы из двух интегральных уравнений методом Винера-Хопфа на каждом шаге по времени.

Основной оригинальной идеей нашего подхода является представление рассматриваемого процесса Леви на коротких промежутках времени t в виде разности двух субординаторов (т.е. процессов Леви, траектории которых не убывают).

Иными словами, процесс Леви разбивается на положительные скачки X и отрицательных скачки Y.

Отметим, что такое разбиение позволяет использовать явные формулы для характеристических функций процессов супремума и инфимума для X и Y.

Цена двухбарьерного опциона ищется на каждом временном промежутке t, используя авторскую реализацию метода Винера-Хопфа.

Расщепляя исходный процесс, как положительный скачок X за промежуток t/2, затем отрицательный скачок Y за время t и положительный скачок X за промежуток t/2, мы получаем возможность аппроксимировать процесс супремума, используя только явные формулы факторизации.

Аналогичную схему можно использовать для приближения процесса инфимума. Результаты были представлены в 2019 году на международной конференции “Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis IX”, в Ростове-на-Дону.

В части задачи вычисления цен опционов lookback американского стиля был разработан метод конечных разностей, позволяющий оценивать американские опционы lookback в рамках модели Блэка-Шоулза.

В отличие от европейских опционов lookback, американские опционы lookback не могут быть оценены по явным формулам даже в модели Блэка-Шоулза и требуют использования численных методов. В рамках научного сотрудничества с Dr. A. Zanette (университет Удине, Италия) руководителем проекта были ускорены явная и неявная конечно-разностные схемы Dr. A. Zanette вычисления цен американских опционов lookback с плавающей ценой исполнения в рамках модели Блэка-Шоулза путем снижения размерности задачи с трехмерной до двухмерной. Основной оригинальной идеей, позволяющей решать задачу за миллисекунды является представление цены опциона lookback put U(t,x,y)=exp(y)-exp(x)+exp(y)F(t,x-y), где x,y – логарифмы цены базового актива и текущего максимума, а F(t,x) — неубывающая по x функция. Для доказательства этого представления применяется метод Винера-Хопфа. Численный метод программно реализован. Полученные результаты представлялись в 2019 на Четвертой международной конференции по стохастическим методам (Дивноморск).

Оптимизированный метод Монте-Карло, разработанный в первый год проекта, был представлен в 2019 году в виде публикаций в журналах «Теория вероятностей и ее применения» и «Theory of Probability and its Applications». Наиболее эффективен метод оказался, когда функция выплат опциона зависит от конечного положения процесса инфимума или процесса супремума. Во второй год реализации проекта оптимизированный метод Монте-Карло был реализован для опционов lookback европейского стиля с фиксированной и плавающей ценой исполнения с префиксированным значением экстремума, основной оригинальной идеей которого является непосредственная симуляция конечных положений процессов экстремума для моделей Леви на основе соответствующих функций распределения. Как показали вычислительные эксперименты, проведенные для опционов lookback put европейского стиля сиксированной ценой исполнения разработанный руководителем проекта новый метод Монте-Карло быстро сходится и не уступает детеминированным методам Kudryavtsev O., Levendorskii S. (SSRN, 2011), Boyarchenko S. I., Levendorskii S.Z. (International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2013), использующим приближенную факторизацию Винера-Хопфа. Эталонные цены были взяты из Boyarchenko S. I., Levendorskii S.Z. (International Journal of Theoretical and Applied Finance, 2013). Расчеты были проведены в 10 точках, для короткого срока действия опциона (T=0.1 года) и длинного срока действия опциона (T=2 года), при этом функция распределения конечного положения процесса инфимума находилась по авторской методике руководителя проекта путем обращения преобразования Лапласа с помощью алгоритма Гавера-Стехфеста с 14 слагаемыми, что позволило проводить вычисления со стандартной двойной точности (при большем количестве слагаемых возрастает точность обращения преобразования Лапласа, но возникает необходимость использовать длинную арифметику).

С точки зрения практического применения, новый метод Монте-Карло может быть легко распараллелен и использован для одновременного расчета цен различных экзотических опционов на один и тот же базовый актив. В частности, на основе одного набора вероятностей можно рассчитывать цены опционов lookback с фиксированной ценой исполнения для различных значений начальной цены и уровней предопределенного минимума. В указанном ключе метод может успешно конкурировать с детерминированными методами вычисления опционов.
Результаты анализа эффективности оптимизированного метода Монте-Карло представлялись в 2019 на Четвертой международной конференции по стохастическим методам (Дивноморск), научном семинаре для преподавателей и аспирантов, университет Удине (Италия), на 9 международном конгрессе по промышленной и прикладной математике (ICIAM 2019, г. Валенсия, Испания, около 4000 участников).

В рамках второй цели проекта, заключавшейся в разработке методов численного анализа финансовых рынков, были решены следующие задачи.

В части решения задачи по разработке механизма непараметрической оценки стоимости опционов с применением методов машинного обучения, во второй год реализации гранта был разработан способ вычисления стоимости опциона первого касания в моделях Леви и построена его программная реализация для модели CGMY. Разработана и апробирована методика сбора и обработки

исторических данных о ходе торгов, позволяющая получать синтетические цены опционов первого касания на ликвидных волатильных рынках — в частности, рынке криптовалют, в виде исторических вероятностей пересечения фиксированных барьеров. Эта цена может быть интерпретирована как риск пересечения ценой актива определённого известного уровня и имеет существенное прикладное значение. Для её вычисления была построена рекуррентная искусственную нейронную сеть LSTM. Обученная нейронная сеть позволила предсказывать цену таких опционов точнее, чем откалиброванная по торговым данным предыдущих периодов модель CGMY.
Результаты были представлены в 2019 году на международной конференции “Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis IX”, в Ростове-на-Дону.

Для ускорения калибровки процесса CGMY был разработан подход с применением регрессии на основе гауссовских процессов. Аналогичный механизм обработки данных и идея представления опционов первого касания были использованы для тренировки альтернативного метода машинного обучения. Обученный алгоритм регрессии на основе гауссовских процессов позволяет калибровать модель CGMY существенно быстрее, чем стандартный подход исчерпывающей калибровки, при этом получаемые результаты для широкого диапазона значений параметров являются статистически неразличимыми при уровне значимости в 5%.

Важным элементом калибровки моделей Леви по данным криптовалют является анализ индекса активности скачков. В проведенном во второй год проекта исследовании мы анализируем степенную вариацию для оценки соответствующего обобщенного индекса Блюменталя-Гетура на основе временных рядов лог-доходностей исторических цен криптовалют Bitcoin и Etherium. Анализ показывает, что процесс CGMY (KoBoL) с ограниченной вариацией скачков был более адекватен для моделирования курсов криптовалют в 2017 и 2018 году по сравнению с диффузионными моделями. Анализ проводился отдельно по каждому году, используя минутные котировки. Полученные результаты показали, что во всех четырех случаях оценки соответствующего обобщенного индекса Блюменталя-Гетура находятся в окрестности единицы. Наличие сноса и скачков с ограниченной вариацией означает, что индекса Блюменталя-Гетура будет равен 1. Для того чтобы провести более точный анализ скачковой компоненты модели необходимо устранить снос. В этом случае мы предлагаем более точный алгоритм оценки параметра, характеризующего активность скачков. Мы исключаем влияние сноса, рассматривая вспомогательный ряд приращений исходных логарифмических доходностей. Поскольку соседниеприращения не являются независимыми, мы строим новый ряд с шагом две минуты, к который имеет независимые приращения и активность скачков совпадающую с исходным процессом цены.

Результаты были представлены в 2019 году на международной конференции “Modern Methods, Problems and Applications of Operator Theory and Harmonic Analysis IX” (Ростове-на-Дону), на Четвертой международной конференции по стохастическим методам (Дивноморск), международной конференции «Крымская осенняя математическая школа-симпозиум (КРОМШ-2019)», в Крыму. Полный алгоритм анализа обобщенного индекса Блюменталя-Гетура на примере криптовалют Bitcoin и Etherium опубликован в журнале «Инженерный Вестник Дона» (Перечень ВАК).

В качестве альтернативного подхода к быстрой калибровке процесса CGMY была использована нейронная сеть без циклов. На вход ей подавались вероятности перехода блуждающей частицы через набор фиксированных барьеров. Для увеличения объёма обучающей выборки были разработана методика, включающая генерацию наборов параметров модели и вычисление цен опционов при помощи быстрой факторизации Винера-Хопфа. Этот подход позволяет уйти от традиционно применяемой в аналогичных публикациях генерации траекторий случайного блуждания и сократить время, необходимое для подготовки искусственных данных. Нейронная сеть была обучена на синтетических и рыночных данных и показала хорошую производительность на обучающей и валидационной выборках. Таким образом, удалось получить быстрый метод подбора параметров модели Леви CGMY, который можно использовать для решения задач управления рыночным риском, которые возникают на финансовых рынках.
Результаты были представлены на конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» 11-13 ноября 2019 в г. Воронеже.

В части решения задачи по разработке и исследованию торговых стратегий, подготовлена программная реализация платформы для анализа эффективности торговых стратегий, основанных на применении методов машинного обучения на примере криптовалют. Модель сделки была составлена на основе существующих программных продуктов: WealthLab и Ninja Trader. Программно реализованы классы торговых стратегий и интерфейсы, которые эти классы реализуют. Посредством вычисления значений индикаторов, торговая стратегия формирует точки открытия и закрытия сделок, после чего производится вычисление показателей производительности портфеля. В качестве примера использована стратегия, реагирующая на направленность новостей, касающихся криптовалюты «Bitcoin». Полученные результаты реализованы в составе программы для ЭВМ: «Программа для управления рисками инвестиционного портфеля – Пиргос 2.0 (Диурн)».

Авторским коллективом (А.С. Гречко, О.Е. Кудрявцевым, В.В. Родоченко) подготовлена программа для ЭВМ: «Программа для управления рисками инвестиционного портфеля – Пиргос 2.0 (Диурн)», которая внесена в Реестр программ для ЭВМ, регистрационный № 2019666725 от 13.12.2019. Программный продукт является интерфейсом для работы с численными методами, разработанными в рамках текущего проекта.

2018 год

В направлении развития численных методов вычисления цен опционов с барьерами в моделях Леви со стохастической волатильностью были решены следующие задачи.

В рамках проекта построен новый общий численный метод решения специального вида интегро-дифференциальных уравнений с частными производными с переменными коэффициентами, которые возникают в финансовой математике при вычислении цен барьерных опционов в моделях со стохастической волатильностью, которые дополнительно могут допускать скачки.

Используемый подход предполагает вероятностную интерпретацию задачи в терминах двух случайных процессов, которые допускают финансовую интерпретацию, как цена базового актива и его вариация.

Для того, чтобы учесть эффект корреляции случайных процессов цены и вариации, мы используем замену процессов специального вида, предложенную в работе Briani, D.M., Caramellino, L., Zanette, A. (IMA Journal of Management Mathematics, 2017).

Затем мы строим марковскую цепь для аппроксимации процесса вариации на небольших интервалах времени и используем рандомизацию времени.

В результате мы получаем систему задач с граничными условиями для одномерных интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. При отсутствии скачков указанное уравнение имеет только дифференциальную часть и обычно решается методом конечных разностей, при этом матрица системы будет трехдиагональной.

Если присутствуют скачки, то неявная конечно-разностная аппроксимация интегральной части оператора приведет к плотной матрице системы, обращение которой встречает существенные вычислительные трудности, а при явной аппроксимации интегральной части происходит потеря точности.

Для решения этой проблемы в предлагаемом нами применяется разработанный руководителем проекта аппарат численной факторизации Винера-Хопфа, который является основным оригинальным элементом построенного метода.

Решение исходной задачи получается при помощи рекуррентной процедуры, которая движется обратно во времени, к начальному узлу марковской цепи.

Элементом новизны нашего подхода является использование дополнительного разбиения по времении между узлами дерева, аппроксимирующего процесс вариации.

Этот шаг позволяет при достаточно мелкой расчетной сетке по времени, сохранять не слишком громоздкую структуру дерева.

Реализация приближённых формул для факторов производится посредством быстрого преобразования Фурье со сложностью O(n ln(n)), где n — количество точек вычислительной сетки в логарифмической шкале цены.

Другим новым элементом метода является расщепление интегро-дифференциального оператора на две части — дифференциальную, которую можно факторизовать явно и интегральную, которую можно факторизовать приближенно.

В первом случае, факторы Винера-Хопфа можно интерпретировать как свертки с плотностями показательных распределений, которые мы предлагаем рассчитывать новым итеративным методом, который включает в себя аппроксимацию соответствующих интегралов методом Симпсона и выражение их значений в текущих точках сетки через вычисленные на предыдущем шаге.

Если интегральная часть оператора описывает обобщенный процесс Пуассона с экспоненциально распределенными скачками, то в этом случае можно применить аналогичный подход для реализации действия факторов Винера-Хопфа. Ключевым достоинством такого метода является сокращение числа операций для каждой из одномерных задач до O(n), в отличие от подхода с использованием преобразования Фурье.

Мы демонстрируем сходимость метода, сравнивая результаты работы метода с результатами, полученными при помощи симуляции методом Монте-Карло, а также результатами, полученными посредством применения явных формул для факторов.

Другим направлением исследования была разработка нового оптимизированного универсального метода Монте-Карло для вычисления цен экзотических опционов в широком классе моделей Леви.

На данном этапе исследования среди экзотических опционов мы выделили опционы типа lookback с предопределенным максимумом(или минимумом), для которых в рамках проекта были получены эффективные формулы в терминах приближенной факторизации Винера-Хопфа и численного обращения преобразования Лапласа, включая случай переключения режимов по параметрам процесса.

Цена европейского lookback-опциона может быть также интерпретирована как верхнюю границу стоимости неликвидности базового актива.

Риск ликвидности имеет ключевое значение на финансовых рынках, в сделках РЕПО. В особенности его роль возрастает при резких движениях цен финансовых активов, которые наблюдаются на большинстве торговых площадок.

В особенности его роль возрастает при резких движениях цен финансовых активов, которые наблюдаются на большинстве торговых площадок.

За отчетный период была обоснована сходимость формул приближенной факторизации Винера-Хопфа к точным формулам для факторов для широкого класса процессов Леви.

Другим новым результатом является анализ сходимости методов Монте-Карло, предложенных в работе Kuznetsov A., Kyprianou A. E., Pardo J. C., van Schaik K. (Ann.Appl.Prob, 2011), основанных на рандомизации времени и явных формулах факторизации Винера-Хопфа.

Показано, что рандомизация времении фактически эквивалентна обращению преобразованию Лапласа с помощью формулы Поста-Виддера, сходимость которой достаточно медленная.

Классический метод Монте-Карло в случае моделей Леви требует еще больше разбиений траектории по времени, чтобы учитывать влияние возможных скачков на значение процесса экстремума.

Руководителем проекта предлагаются два обобщенных подхода к построению метода Монте-Карло на случай моделей Леви, не допускающих явную факторизацию Винера-Хопфа. Оба метода используют приближенные формулы для факторов Винера-Хопфа.

В рамках первого подхода симуляция процессов супремума и инфимума в экспоненциально распределенные моменты времени осуществляется на основе обращения их приближенных функций распределения.

Второй подход является оптимизированной версией первого, поскольку не требует разбиения траектории на части, предполагает непосредственную симуляцию конечных значений процесса инфимума (супремума) и может быть использован для симуляции совместного распределения положения процесса Леви и соответствующего процесса экстремума, что дает существенный выигрыш в скорости.

Новый метод дает эффективную оценку функции совместного распределения значений процессов супремума и инфимума в заданный момент времени.

Данный подход может быть также использован для симуляции совместного распределения положения процесса Леви и соответствующего процесса супремума (инфимума).

Таким образом, основной оригинальной идеей оптимизированноно метода Монте-Карло является непосредственная симуляция процесса супремума (инфимума), что дает существенный выигрыш в скорости.

Результаты проведенных руководителем проекта вычислительных экспериментов показали, что новый оптимизированный метод Монте-Карло может быть сравним по скорости с детерминированными методами.

Разработанный в рамках проекта алгоритм состоит из двух ключевых этапов: вычисление функции распределения вероятностей процесса супремума (инфимума) и симуляция процессов супремума(инфимума) на основе ее обращения.

Для решения первой задачи можно использовать методы приближенной факторизации, комбинированные с методом Гавера-Стехфеста. Согласно общим рекомендациям в Abate J., Whitt W. (INFORMS Journal on Computing, 2006), из-за наличия факториалов в весовых коэффициентах, реализация алгоритма Гавера-Стехфеста требует высокой точности вычислений — 2.2n значащих цифр, когда параметр алгоритма равен n.

Столь высокая точность нужна только для весовых коэффициентов, но не для вычисления значений функции преобразования Лапласа, при этом в результате достигается точность порядка 0.9n значащих цифр для функций с «хорошими» преобразованиями.

Под «хорошими» понимаются изображения, у которых особенности могут быть только на отрицательной полуоси, а оригиналы бесконечно дифференцируемы для всех t>0.

Таким образом, при выборе параметра n=7 достаточно использовать стандартную двойную точность с 16 значащими цифрами.

Преобразование Лапласа функций распределения процессов инфимума (супремума) не имеет особенностей на положительной полуоси и является монотонной при положительных вещественных значениях параметра преобразования, при этом оригиналы также монотонны по времени.

Как показывают результаты вычислительных экспериментов, такие свойства позволяют достигать точности порядка 3-5 значащих цифр, чего вполне достаточно для реализации предлагаемого в подхода.

Для получения более точных результатов можно использовать библиотеки реализующие длинную арифметику, которые находятся в открытом доступе.

Отметим, что наряду с алгоритмом Гавер-Стехфеста существуют и другие методы численного обращения преобразования Лапласа.

С точки зрения практического применения, данный метод может быть легко распараллелен на базе nVidia CUDA API и использован для одновременного расчета цен различных экзотических опционов на один и тот же базовый актив.

В частности, на основе одного набора вероятностей можно одновременно рассчитывать цены нескольких типов опционов для различных значений начальной цены и уровней предопределенного минимума (максимума).

В указанном ключе метод может успешно конкурировать с детерминированными методами вычисления опционов.

Программная реализация оптимизированного метода Монте-Карло для опционов lookback с фиксированной ценой исполнения для модели Tempered Stable Levy оформлена в виде программы «Lookback Option Pricer» и зарегистрирована в Роспатенте.

В настоящее время все больше и больше внимания уделяется статистическому анализу рынка криптовалют, капитализация которого достигает сотни млрд. долларов.

В ходе первого этапа проекта были собраны данные курсов ключевых криптовалют. В отличие от фиатных валют или цен на акции, криптовалюты демонстрируют очень высокую волатильность и, таким образом, вызывают большой интерес у трейдеров.

Таким образом, традиционные диффузионные модели не применимы для такого типа валют.

Рассмотрим проблему моделирования динамики таких ведущих криптовалют, как биткойн и эфириум.

Новизна нашего подхода заключается в том, что мы начинаем с анализа активности скачков и наличия диффузионной компоненты в моделируемых временных рядах. Мы вычисляем логарифмические доходности на основе временных рядов курсов криптовалют с разными временными интервалами и анализируем реализованную степенную вариацию для оценки соответствующего обобщенного индекса Блюменталя-Гетура.

Проведенный анализ показывает, что процесс CGMY (KoBoL) больше подходит для моделирования рассмотренных курсов криптовалют. Обобщенный индекс Блюменталя-Гетура дает оценку для параметра, который описывает активность скачков логарифмических доходностей.

Мы калибруем другие параметры модели CGMY на основе наблюдаемых частот пресечения заданных ценовых барьеров для курса криптовалюты.

Наблюдаемые частости пересечения набора ценовых барьеров курсов криптовалют могут быть интерпретированы как цифровые опционы первого касания.

Теоретические значения вероятностей первого перехода через барьеры мы предлагаем рассчитывать с использованием авторского метода численной факторизации Винера-Хопфа.

В настоящее время в незначительных объемах торгуются только европейские опционы на Bitcoin на криптобирже LedgerX.

В связи с их недостаточной ликвидностью, калибровка моделей Леви по ценам указанных опционов будет слабо статистически значима.

Основная оригинальная идея нашего подхода заключается в том, что для устранения этой проблемы мы предлагаем подбирать параметры модели Леви по искусственным ценам цифровых опционов первого касания с барьерами сверху и снизу.

По своей сути этот вид опционов представляет собой функцию распределения вероятностей пересечения заданного ценового барьера при нахождении цены на фиксированном расстоянии от барьера.

Предлагаемый алгоритм заключается в следующем.

1.Зафиксируем барьеры сверху и снизу для текущей цены криптовалюты в логарифмической шкале: ±0.01; ±0.02; … ;±0.3.

2.Для каждого фиксированного краткосрочного временного интервала (например, 1 календарного дня), входящего в заданный период времени (например, 1 год) вычислим максимальное и минимальное значения логарифмической доходности криптовалюты и определим, какие барьеры были пересечены.

3. Для каждого барьера оценим частости их пересечения, которые будем считать искусственными ценами цифровых опционов первого касания.

К проблемным аспектам моделирования курсов криптовалют можно отнести неприменимость классических моделей финансовых рынков, высокую волатильность и поведенческие особенности инвесторов.