Методы решения современных задач вычислительной финансовой математики: применение моделей Леви и машинного обучения

Год начала проекта: 2023 — Год окончания проекта: 2024.

Научный коллектив проекта:

Проект относится к вычислительной финансовой математике и направлен на решение фундаментальной проблемы — разработки универсальных и эффективных численных методов вычисления функционалов от марковских процессов, допускающих скачки, с приложениями в финансах.

Марковские процессы, допускающие скачки (в частности, процессы Леви), нашли свое приложение в различных областях от физики до экономики. Последние два десятилетия такого рода процессы активно применяются для моделирования поведения цен финансовых активов.

Ключевая задача вычислительной финансовой математики — вычисление цен опционов. Опционы — это производные финансовые инструменты, которые дают их держателям право (не обязанность) покупать или продавать базовый актив при определенных условиях. В проекте будут рассмотрены экзотические опционы, выплаты по которым зависят от траектории базового актива. Цены опционов записываются в терминах условных математических ожиданий функций выплат.

Таким образом, вычисление функционалов от марковских процессов со скачками является важным и актуальным для приложений направлением исследования. Указанная задача является нетривиальной с вычислительной точки зрения и сводится к численному решению достаточно сложных (интегро)дифференциальных уравнений с частными производными, известных как прямое и обратное уравнение Колмогорова, с определенными начальными и краевыми условиями.

В рамках проекта планируется разработка численных методов, включая гибридные с применением методов машинного обучения, для оценивания экзотических опционов в моделях со скачками. Создание гибридных численных методов, включающих в себя элементы «традиционных» методов вычислительной математики (методы Монте-Карло, конечно-разностные методы, методы деревьев, методы интегральных преобразований, метод факторизации Винера-Хопфа) и элементов машинного обучения, является наиболее современным трендом развития вычислительной финансовой математики.

В рамках проекта предполагается решить следующие задачи:

1. Глубокий анализ результатов применения нейронных сетей в задачах вычислительной финансовой математики.

2. Разработка нового эффективного метода упрощенной факторизации Винера-Хопфа для общих моделей Леви с приложением для вычисления цен опционов с барьерами. В частности, будет решена задача вычисления цен двухбарьерных опционов в общих моделях Леви, которая требует факторизации матрицы функций размера 2 на 2, неизвестной в явном виде.

3. Разработка гибридного численного метода для вычисления цен опционов в моделях Леви со стохастической волатильностью, комбинирующий идею снижения размерности для возникающих задач для интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, факторизацию Винера-Хопфа и алгоритмы машинного обучения для решения возникающих задач меньшей размерности.

4. Решение задачи разработки универсального метода Монте-Карло для вычисления цен экзотических опционов в широком классе моделей Леви.

5. Разработка новой методологии реальных опционов, ориентированной на качество, для моделирования и управления многоступенчатыми проектами НИОКР по разработке лекарств, основанной на составных опционах с процессами Леви. Задачи, рассматриваемые в проекте достаточно масштабны, объединены несколькими общими идеями: упрощение сложного универсального инструмента решения интегро-дифференциальных уравнений на полуоси — метода факторизации Винера-Хопфа, разработка методов снижения размерности для многомерных задач, построение гибридных методов с помощью алгоритмов машинного обучения.

Таким образом, проект с теоретической точки зрения важен для развития вычислительной финансовой математики. Полученные результаты могут быть использованы для усовершенствования новых программных продуктов для управления рисками, за счёт увеличения скорости расчётов и расширения списка поддерживаемых моделей цен активов. Этот прикладной аспект исследования делает его значимым с практической точки зрения.