В рамках задачи проекта, связанной с анализом возможного применения нейронных сетей в области оценивания опционов получены следующие результаты:

(1) исследованы вопросы применение искусственных нейронных сетей для моделирования процессов Леви;

(2) доказаны вероятностные аналоги универсальных теорем аппроксимации, позволяющих связать непрерывные случайные величины определенного типа и монотонные искусственные нейронные сети прямого распространения с одномерным входом и одним скрытым слоем;

(3) исследованы вопросы повышения интерпретируемости искусственных нейросетей на примере стандартных задач вычислительной финансовой математики;

(4) применены искусственные нейронные сети для факторизации Винера-Хопфа в гибридных методах вычисления цен барьерных опционов;

(5) применены импульсные нейронные сети для моделирования значений факторов Винера-Хопфа для комбинирования с численным методом Винера-Хопфа при вычислении цен опционов, функции выплат которых зависят от экстремума процесса Леви.

(6) предложена идея новой модели импульсных нейросетей, обучение которой связано с вычислением вероятности пересечения барьера процессом Леви.

(7) разработан метод быстрого вычисления интегральных операторов типа свертки в задачах оценивания опционов в моделях Леви с помощью нейросетей. Обоснован метод упрощенной факторизации Винера-Хопфа для двубарьерных опционов для процессов Леви с ограниченной и неограниченной вариацией скачков. Разработанный метод упрощенной факторизации Винера-Хопфа для общих моделей Леви при замене функции выплат на индикатор функцию может быть использован для построения функций совместного распределения положений супремума и самого процесса или тройки (супремум, инфимум, процесс) и применяться для конструкции новых методов вычислительных финансов.

Разработана новая методология реальных опционов для моделирования и управления многоступенчатыми проектами НИОКР по разработке лекарств, основанная на составных опционах с процессами Леви. В качестве модели качества лекарства использован составной процесс Пуассона, интенсивность которого моделирует получение новой информации о качестве разрабатываемого лекарства, а дискретная случайная величина амплитуды скачков моделирует соответствующие изменения в качестве. В модель введены новые инструменты для менеджера проекта – барьеры эффективности, которые позволяют управлять соотношением стоимость проекта и ожидаемые потери на всех стадиях проекта.

Разработан гибридный численный метод для вычисления цен опционов в моделях Леви со стохастической волатильностью, комбинирующий идею снижения размерности для возникающих задач для интегро-дифференциальных уравнений с частными производными, факторизацию Винера-Хопфа и алгоритмы машинного обучения для решения возникающих задач меньшей размерности. Для модели Хестона предложен альтернативный метод решения уравнения для цены опциона с помощью нейросетей.

Разработан универсальный метод Монте-Карло для вычисления цен экзотических опционов, функция выплат которых зависит от конечного положения экстремума процесса Леви или совместного распределения конечного положения процесса Леви и его экстремума. В первом случае предлагаемый метод позволяет вычислять цены опционов lookback с плавающей и фиксированной ценой исполнения не только в начальный момент времени, но и в течение всего срока, когда текущее положение процесса Леви может не совпадать со своим экстремумом. Описаны принципы построения гибридного метода Монте-Карло, комбинирующего классические численные методы построения функции распределения конечного положения процесса экстремума и методы машинного обучения для обращения функции распределения с помощью тензорных нейронных сетей. Проведенные вычислительные эксперименты подтверждают эффективность универсального метода Монте-Карло при вычислении цен опционов lookback. Для второго случая мы выводим приближенные формулы для условных функций распределения процесса Леви, когда известно положения процесса экстремума.

Адаптирован метод фреймовых проекций для вычисления показателей риска VaR (Value-at-Risk) и CTE (Conditional Tail Expectation) переменных аннуитетов в экспоненциальных моделях Леви. В предлагаемом подходе плотность вероятности чистых обязательств, выражаемых через конечное состояние и интеграл экспоненциального процесса Леви, аппроксимируется с использованием теории фреймов и базисов Рисса. Ключевым элементом численного метода является новый алгоритм вычисления интеграла экспоненциального процесса Леви, аппроксимируемого дискретной суммой, математическое ожидание которой такое же, как у искомого интеграла. В основной части алгоритма, чтобы найти VaR как квантиль распределения потерь, численно решается уравнение для соответствующей функции распределения с помощью метода Ньютона, адаптированного к аппроксимации плотности вероятности B-сплайнами. Когда показатель VaR найден, вычисляется CTE, используя интегрирование по частям и свойства кубических B-сплайнов. Численные эксперименты по применению разработанного метода для моделей Блэка-Шоулза и CGMY наглядно демонстрируют его высокую точность и быстродействие.

Коллектив представил результаты проекта на научно-онлайн семинаре «Вероятностные проблемы управления и стохастические модели в экономике, финансах и страховании» в Центральном экономико-математическом институте РАН и на 10 международных научных конференциях, включая пленарный доклад на Девятая международная конференция по стохастическим методам и приглашенный доклад на Международной конференции 2024 года по актуарной науке, количественным финансам и управлению рисками (Пекин, Китай, Центральный финансово-экономический университет — национальный государственный исследовательский университет: лучший университет в области финансов, экономики, бизнеса и управления в Китае).

Основные результаты проекта опубликованы в 10 работах в изданиях, входящих в базы цитирования (RSCI, Web of Science, Scopus), включая 1 статью в “Журнале вычислительной математики и математической физики”(RSCI, первое место в рейтинге SCIENCE INDEX по математике, десятое место в общем рейтинге SCIENCE INDEX), 1 статью в российском журнале “Вестник российских университетов. Математика” (Scopus — Q2) и 3 статьи в зарубежных журналах, входящих в третий квартиль в базе цитирования Scopus. Еще две статьи проекта получили положительные рецензии и проходят второй этап рецензирования в топовых журналах “Insurance: Mathematics and Economics” (Scopus — Q1) и “European Journal of Operational Research” (Web of Science, Scopus — Q1).